1、4简单计数问题1.某省博物馆欲在A地展出5件艺术作品,其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计作品1件.展出时,将这5件作品排成一排,要求2件书法作品必须相邻,2件绘画作品不能相邻,则该展台展出这5件作品不同的排法有()A.12种B.24种C.36种D.48种解析:因为2件书法作品必须相邻,所以可用捆绑法与1件标志性建筑设计一起排列有A22A22种排法.又因为2件绘画作品不能相邻可用插空法,有A32种方法,所以该展台展出的5件作品不同的排法有A22A22A32=24种.答案:B2.从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排,含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的
2、不同排列共有()种.A.120B.480C.720D.840解析:先将“qu”捆绑成一个元素,再从剩余的6个元素中取3个元素,共有C63种不同的取法,然后对取出的4个元素进行全排列,有A44种方法,由于“qu”顺序不变,根据分步乘法计数原理共有C63A44=480种不同排列.答案:B3.用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有()A.288个B.240个C.144个D.126个解析:组成的五位数字大于20000,首位必须是2,3,4,5.又是偶数,组成五位数的个位是0,2,4.当个位是0时,首位有4种选法,有4A43=96个.当个位是2或4时有A21种
3、,首位有3种,有23A43=144个.共有96+144=240个.答案:B4.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A.72B.96C.108D.144解析:插空法,先排2,4,6共有A33种方法.若1,3,5都不相邻,则有A33种方法;若1,3相邻,则有A22A32种方法.所以共有A33(A33+A22A32)=108种不同的方法.答案:C5.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日、丁不排在10月7日,则不同的排法方案有()种.A.504B.960C.1008D.1
4、108解析:若丙排10月1日,共有A55A22=240种排法,若丁排10月7日,共有A55A22=240种排法,若丙排1日且丁排7日,共有A44A22=48种排法,若不考虑丙、丁的条件限制,共有A66A22=1440种排法,所以共有1440-240-240+48=1008种排法.答案:C6.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()种.A.50B.60C.120D.210解析:先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,
5、6),(6,7),甲任选一种为C61,然后在剩下的5天中任选两天有序地安排其余两校参观,安排方法有A52种,按照分步乘法计数原理可知共有C61A52=120种不同的安排方法.答案:C7.从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有种.解析:联想一空间模型,注意到“有2个面不相邻”,既可从相对平行的平面入手正面构造,即C61C21,也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面,即C63-8=12.答案:128.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有种不同的种法.解析:区域5有4种种法,区域1有3种种法,区域4有2种种法,若1,3同色,区域2有2种种法
6、,若1,3不同色,区域2有1种种法,所以共有432(12+11)=72种不同的种法.答案:729.某学校招收的12名体育特长生中有3名篮球特长生.现要将这12名学生平均分配到3个班中去,每班都分到1名篮球特长生的分配方法共有种,3名篮球特长生分配到同一班的分配方法共有种.(用数字作答)解析:3名篮球特长生分在3个班中有A33种方法,余下9名特长生平均分到3个班中有C93C63C33种方法,共有A33C93C63C33=10080种不同的分配方法.若3名篮球特长生分在同一个班中有C31种方法,再有1名特长生分在该班有C91种方法,余下8个平均分在另2个班中,有C84C44种方法,共有C31C91
7、C84C44=1890种不同的分配方法.答案:10080189010.从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数,试问:(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个?(3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个?(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个?解:(1)分步完成:第一步:在4个偶数中取3个,有C43种情况.第二步:在5个奇数中取4个,有C54种情况.第三步:3个偶数,4个奇数进行排列,有A77种情况.所以符合题意的七位数有C43C54A77=100800个.(2)上述七位数中,3个偶数排在一起的有C43C54A55A3
8、3=14400个.(3)上述七位数中,3个偶数排在一起,4个奇数也排在一起的有C43C54A33A44A22=5760个.(4)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把4个奇数排好,再将3个偶数分别插入5个空隙中(包括两端),共有C43C54A44A53=28800个.11.有编号分别为1,2,3,4的4个盒子和4个小球,把小球全部放入盒子.问:(1)共有多少种放法?(2)恰有1个空盒,有多少种放法?(3)恰有2个盒子内不放球,有多少种放法?解:(1)1号小球可放入任意1个盒子内,有4种放法.同理,2,3,4号小球也各有4种放法,故共有44=256种放法.(2)恰有1个空盒,则这4个盒子中只有3个盒
9、子内有小球,且小球数只能是1,1,2.先从4个小球中任选2个放在一起,有C42种方法,然后与其余2个小球看成三组,分别放入4个盒子中的3个盒子中,有A43种放法.由分步乘法计数原理,知共有C42A43=144种不同的放法.(3)恰有2个盒子内不放球,也就是把4个小球只放入2个盒子内,有两类放法:第一类:1个盒子内放1个球,另1个盒子内放3个球.先把小球分为两组,其中一组1个,另一组3个,有C41种分法,再放到2个盒子内,有A42种放法,共有C41A42种方法.第二类:2个盒子内各放2个小球.先从4个盒子中选出2个盒子,有C42种选法,然后把4个小球平均分成2组,每组2个,有C42种分法,共有C42C42种方法.由分类加法计数原理,知共有C41A42+C42C42=84种不同的放法.
