1、上海市实验学校2020-2021学年度第一学期期末考试高二年级 数学试卷一、填空题（本大题满分40分,共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1、 已知复数满足（为虚数单位），则的模为_. 2、抛物线的准线方程为_.3、已知直线l的参数方程为：(t为参数)，则直线l的倾斜角的大小为 4、双曲线的两条渐近线的夹角为_. 5、已知，满足，则的最大值是_.6、已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为_. 7、过点的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_.8、已知椭圆内有一点，弦过点，则弦中点的轨迹方程是_.9、若曲线与直线有
2、两个不同的公共点，则实数的取值范围是 . 10、对于直角坐标平面内任意两点，定义它们之间的一种“折线距离”，写出下列四个命题：（1）在中，若,则；（2）到原点的“折线距离”等于1的集合是一个圆；（3）到,，两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；（4）到,，两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题是_.（写出所有正确命题的序号）二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分.）11、在复平面中，满足等式的所对应点的轨迹是( )A双曲线B双曲
3、线的一支C一条射线D两条射线12、一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A或 B或 C或 D或 13、设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值的分别为 （ ）A9，12B8，11C8，12D9，1114、 已知圆：，则下列命题：圆上的点到的最短距离的最小值为；圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为（ ）A B C D. 三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)15、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知复数，（，
4、是虚数单位）.（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； （2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.16、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知椭圆 （）的右焦点的坐标为，且长轴长为短轴长的倍. 直线交椭圆于不同的两点和 （1）求椭圆的方程；（2）若直线经过点，且的面积为，求直线的方程. 17、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形.（1）求的方程；（2）若直线，且和有且只有一个公共点，证明直线过定点，并求出定点坐
5、标.18、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）xyOA1FA2B1B2把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中为的右焦点如图所示，、分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于两点（在轴的上方）（1）求半椭圆和圆弧的方程； （2）当点分别在第一、第三象限时，求的周长的取值范围；（3）若射线绕点顺时针旋转交“曲圆”于点，请用表示两点的坐标，并求的面积的最小值附加题（每题10分，共20分）19. 设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由
6、20. 确定所有的复数，使得对任意的复数（），均有上海市实验学校2020-2021学年度第一学期期末考试高二年级 数学试卷一、填空题（本大题满分40分,共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1、 已知复数满足（为虚数单位），则的模为_. 2、抛物线的准线方程为_.3、已知直线l的参数方程为：(t为参数)，则直线l的倾斜角的大小为4、双曲线的两条渐近线的夹角为_. 5、已知，满足，则的最大值是_.56、已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为_. 7、过点的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_.8、已知椭圆内有一点，
7、弦过点，则弦中点的轨迹方程是_.9、若曲线与直线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 .10、对于直角坐标平面内任意两点，定义它们之间的一种“折线距离”，写出下列四个命题：（1）在中，若,则；（2）到原点的“折线距离”等于1的集合是一个圆；（3）到,，两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；（4）到,，两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题是_.（写出所有正确命题的序号）（3）（4）二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分.）11
8、、在复平面中，满足等式的所对应点的轨迹是( C )A双曲线B双曲线的一支C一条射线D两条射线12、一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为( A )A或 B或 C或 D或 13、设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值的分别为 （ C ）A9，12B8，11C8，12D9，1114、 已知圆：，则下列命题：圆上的点到的最短距离的最小值为；圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为（ C ）A B C D. 三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤
9、)15、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知复数，（，是虚数单位）.（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； （2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.解：（1）由条件得，因为在复平面上对应点落在第一象限，故有（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根所以，即，把代入，则，所以.16、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知椭圆 （）的右焦点的坐标为，且长轴长为短轴长的倍. 直线交椭圆于不同的两点和 （1）求椭圆的方程；（2）若直线经过点，且的面积为，求直线的方程.解：（1）由题意得 ， 解得 ， 所以椭圆的方程为 . （2）设点
10、、的坐标为、，直线的方程为. 由方程组 ，得 所以， 解得.直线的方程为. 17、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形.（1）求的方程；（2）若直线，且和有且只有一个公共点，证明直线过定点，并求出定点坐标.【解】（1）由题意知，设，则的中点为因为，由抛物线的定义可知，解得或（舍去）由，解得所以抛物线的方程为（2）由（1）知，设因为，则，由得，故，故直线的斜率因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线的方程得，由题意，得设，则当时，可得直线的方程为，由，整
11、理得，直线恒过点当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点18、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）xyOA1FA2B1B2把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中为的右焦点如图所示，、分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于两点（在轴的上方）（1）求半椭圆和圆弧的方程； （2）当点分别在第一、第三象限时，求的周长的取值范围；（3）若射线绕点顺时针旋转交“曲圆”于点，请用表示两点的坐标，并求的面积的最小值解 (1) 解：（1）易得，：，2分xyOA1FA2B1B2QP：. 4分（2）由题意可知，此时为腰长为2的等腰三角形，故的周长
12、. 所以周长的取值范围为. 8分【法二】的周长. 其中 .（3）不妨设， 由题意知, 即 （其中， ，以下步骤未求出也给2分）当时，将的坐标代入得：，整理得，解得或（舍去），从而可得.令，则 当即时，. 当时，综上可得:的面积的最小值为. 12分附加题（每题10分，共20分）19. 设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由【解】由消去化简整理得设，则 由消去化简整理得设，则 因为，所以，此时由得所以或由上式解得或当时，由和得因是整数，所以的值为，当，由和得因是整数，所以，于是满足条件的直线共有9条 20. 确定所有的复数，使得对任意的复数（），均有【解析】记假如存在复数，使得 ，则由（1）知利用即另外一方面,对任意满足的复数其中代入(1)可得综上所述,符合要求的值为.