1、2021 年上海市徐汇区南模中学高考数学三模试卷一、填空题（共 12 小题）.1若，x+y 2若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 cm33函数 ylgsin2x 的单调递减区间为 4函数的零点为 5已知实数 x、y 满足条件，zx+yi（i 为虚数单位），则|z7+3i|的最小值是 6已知等差数列an的各项均为正整数，且 a82021，则 a1 的最小值是 7现有一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为 8，圆柱的体积为 16，则长方体的高 h 的取值范围是 8中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画如图，是书画家唐寅（1
2、4701523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为 cm29已知的展开式中的第 4 项为常数项，若从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率为 10平面内，若三条射线 OA、OB、OC 两两成等角为，则类比该特性：在空间，若四条射线 OA、OB、OC、OD 两两成等角为，则 11已知正六边形 ABCDEF，M、N 分别是对角线 AC、CE 上的点，使得，当 r 时，B、M、N 三点共线12已知数列an、bn满足：，bn+1bn1bn（n2），且 b11，b22，若数列中存在某一项的值在该数列中重复出现无数次，在 a1 的取值范围为 二、选择题（共 4 小题）.13下列函数中
3、，与函数 yx3 的值域相同的函数为（）Ay（）x+1Byln（x+1）CyDyx+14设 zC 且 z0，“z 是纯虚数”是“z2R”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件15已知数列an的通项公式为 an（nN*，其前 n 项和 Sn，则双曲线1 的渐近线方程为（）ABCD16已知递增正整数数列an满足，则下列结论中正确的有（）（1）a1、a2、a3 可能成等差数列；（2）a1、a2、a3 可能成等比数列；（3）an中任意三项不可能成等比数列；（4）当 n3 时，an+2an+1an 恒成立A0 个B1 个C2 个D3 个三、解答题17（理）如图，在直三棱柱
4、 ABCA1B1C1 中，ABAC，AA1ABAC1，ABC，D、M、N 分别是 CC1、A1B1、BC 的中点（1）求异面直线 MN 与 AC 所成角的大小；（2）求点 M 到平面 ADN 之间的距离18已知函数是偶函数（1）求实数 m 的值；（2）若关于 x 的不等式 2kf（x）3k2+1 在（，0）上恒成立，求实数 k 的取值范围19如图，某机械厂要将长 6m，宽 2m 的长方形铁皮 ABCD 进行剪裁，已知点 F 为 AD 的中点，点 E 在边 BC 上，剪裁时先将四边形 CDFE 沿直线 EF 翻折到 MNFE 处（点 C、D分别落在直线 BC 下方点 M、N 处，FN 交边 BC
5、 于点 P）再沿直线 PE 剪裁，若设EFP（1）试用 表示 PF 的长，并求出 的取值范围；（2）若使剪裁得到的四边形 MNPE 面积最大，请给出剪裁方案，并说明理由20已知椭圆，圆 Q：x2+y24x2y+30 的圆心 Q 在椭圆 C上，点 P（0，1）到椭圆 C 的右焦点的距离为 2，过点 P 作直线 l 交椭圆于 A、B 两点（1）求椭圆 C 的方程；（2）若，求直线 l 的方程；（3）若 SAQBttanAQB，求 t 的取值范围21已知集合 P 的元素个数为 3n（nN*）且元素均为正整数，若能够将集合 P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合 A，B，C，即 PABC，A
6、B，AC，BC，其中 Aa1，a2，an，Bb1，b2，bn，Cc1，c2，cn，且满足 c1c2cn，ak+bkck，k1，2，n，则称集合 P 为“完美集合”（）若集合 P1，2，3，Q1，2，3，4，5，6，判断集合 P 和集合 Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（）已知集合 P1，x，3，4，5，6为“完美集合”，求正整数 x 的值；（）设集合 Px|1x3n，nN*，证明：集合 P 为“完美集合”的一个必要条件是n4k 或 n4k+1（nN*）参考答案一、填空题（共 12 小题）.1若，x+y 0 解：，x2+y22xy（x+y）20 x+y0故答案为 02若某几何体的三视图（单位
7、：cm）如图所示，则此几何体的体积是 6 cm3解：由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个梯形，梯形的上底是 1，下底是 2，高是 2，梯形的面积是四棱柱的高是 2，四棱柱的体积是 236故答案为：63函数 ylgsin2x 的单调递减区间为 k+，k+)，kZ 解：函数 ylgsin2x 的单调递减区间，即 tsin2x0 时，函数 t 的减区间再利用正弦函数的图象和性质可得，2k+2x2k+，求得 k+xk+，kZ，故答案为：k+，k+），kZ4函数的零点为 解：函数的零点即为方程的根，方程可变形为 124x（4x1）10（4x1）0，令 t4x，则 t0，所以 12t（t1）1
8、0（t1）0，即 t2+9t220，解得 t2 或 t11（舍），故 4x2，解得，所以函数的零点为故答案为：5已知实数 x、y 满足条件，zx+yi（i 为虚数单位），则|z7+3i|的最小值是 4 解：由约束条件作出可行域如图，由于 zx+yi，|z7+3i|的几何意义为可行域内的动点到定点 P（7，3）的距离PA 与直线 x3 垂直，则|z7+3i|的最小值是 4故答案为：46已知等差数列an的各项均为正整数，且 a82021，则 a1 的最小值是 5 解：设等差数列an的公差为 d（dN+），由 a8a1+7d，得 a120217d；由于 20217288+5，所以 a17288+57
9、d7（288d）+5，即当 d288 时，a1有最小值 5故答案为：57现有一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为 8，圆柱的体积为 16，则长方体的高 h 的取值范围是 4，+）解：设长方体的底面长为 x，则宽为 4x，底面积为 Sx（4x）x2+4x（0 x4）当 x2 时，Smax4，则 S（0，4圆柱的底面积的范围为 S（0，4又圆柱的体积为 16，由 Sh16，得 h4，+），又长方体与圆柱的高相等，可得长方体的高 h 的取值范围是4，+）故答案为：4，+）8中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画如图，是书画家唐寅（14701523）
10、的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为 704 cm2解：如图，设AOB，OAOBr，由题意可得：，解得：r，所以，S 扇面S 扇形 OCDS 扇形 OAB64（+16）24704cm2故答案为：7049已知的展开式中的第 4 项为常数项，若从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率为 解：的展开式中的第 4 项为xn6，为常数项，n6，故展开式的系数为，r0，1，2，3，4，5，6，其中，有 4 项为奇数，3 项为偶数，故从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率为，故答案为：10平面内，若三条射线 OA、OB、OC 两两成等角为，则类比该特性：在空间，若四条射线 OA
11、、OB、OC、OD 两两成等角为，则 解：“平面内，若三条射线 OA、OB、OC 两两成等角为，则”我们可类比推理出：在空间，若四条射线 OA、OB、OC、OD 两两成等角为，则 故答案为：11已知正六边形 ABCDEF，M、N 分别是对角线 AC、CE 上的点，使得，当 r 时，B、M、N 三点共线解：建立如图坐标系，不妨设正六边形 ABCDEF 的边 AB1，由于得，则 A（0，0），B（1，0）C（，），E（0，），设 M 的坐标为（x，y），r（r，r），M（r，r）同理可求，N 的坐标是（1r），(1+r)，（r1，r），（，(1+r)，B，M，N 三点共线，则（1)(1+r)()0
12、，化简得，3r21，解得 r，故答案为：12已知数列an、bn满足：，bn+1bn1bn（n2），且 b11，b22，若数列中存在某一项的值在该数列中重复出现无数次，在 a1 的取值范围为、解：因为 bn+1bn1bn（n2），所以，对任意的 nN*有 bn+5bn，即数列bn各项的值重复出现，周期为 6且 b11，b22，b32，b41，b5，b6，这六个数的和为 7设 cna6n+i（nN）（其中 i 为常数且 i1，2，3，4，5，6），所以 cn+1cna6n+6+ia6n+ib6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+57（nN），所以数列
13、a6n+i均为以 7 为公差的等差数列，设 fk+（其中 n6k+i，k0，i为1，2，3，4，5，6中一个常数），当 aii 时，对任意的 n6k+i，有，当 aii 时，fk+1fk（aii），（i）若 aii，则对任意的 kN 有 fk+1fk，所以数列为递减数列，（ii）若 aii，则对任意的 kN 有 fk+1fk，所以数列为递增数列故只需 aii，i1，2，3，4，5，6即可满足题意，因为 a2a1+b1a1+1，a3a2+b2a1+3，a4a3+b3a1+5，a5a4+b4a1+6，a6a5+b5a1+，所以 a1，a1+1，a1+3，a1+5，a1+6，a1+7，所以 a1，a
14、1，a1，a1，a1故答案为：、二、选择题13下列函数中，与函数 yx3 的值域相同的函数为（）Ay（）x+1Byln（x+1）CyDyx+解：函数 yx3 的值域为实数集 R，又选项 A 中 y0，选项 B 中 y 取全体实数，选项 C 中的 y1，选项 D 中 y0，故选：B14设 zC 且 z0，“z 是纯虚数”是“z2R”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：zC 且 z0，“z 是纯虚数”“z2R”，反之不成立，例如取 z2“z 是纯虚数”是“z2R”的充分不必要条件故选：A15已知数列an的通项公式为 an（nN*，其前 n 项和 Sn，则双曲线
15、1 的渐近线方程为（）ABCD解：数列an的通项公式为，可得即 1，解之得 n9双曲线的方程为，得 a，b3因此该双曲线的渐近方程为 y，即故选：C16已知递增正整数数列an满足，则下列结论中正确的有（）（1）a1、a2、a3 可能成等差数列；（2）a1、a2、a3 可能成等比数列；（3）an中任意三项不可能成等比数列；（4）当 n3 时，an+2an+1an 恒成立A0 个B1 个C2 个D3 个解：由题可知，an是递增正整数数列，an+1an+1，当 an+1an+1 时，与题意矛盾，故 an+1an+2，当 an+1an+2 时，an成等差数列，故（1）正确；an+1an+2，a12,a
16、24,a36，若 a1、a2、a3 成等比数列，则有,，a2+1a3，与题设不符，故（2）错误；同理，若 an1,an,an+1 成等比数列，则，与题设不符，故（3）正确；当 n3 时，且 an+1an+2，故（4）正确故选：D三、解答题17（理）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAC，AA1ABAC1，ABC，D、M、N 分别是 CC1、A1B1、BC 的中点（1）求异面直线 MN 与 AC 所成角的大小；（2）求点 M 到平面 ADN 之间的距离解：（1）设 AB 的中点为 E，连接 EN，则 ENAC，且，所以MNE 或其补角即为异面直线 MN 与 AC 所成的角3 分连接
17、ME，在 RtMEN 中，5 分所以异面直线 MN 与 AC 所成的角为 arctan26 分（2）因为 ABAC1，所以 ABAC，以点 A 为坐标原点，分别以 AB、AC、AA1 所在直线为 x，y，z 轴，如图建立空间直角坐标系 Axyz，则：，8 分设平面 AND 的一个法向量为则所以平面 ADN 的一个法向量为10又，所以点 M 到平面 OAD 的距离12 分18已知函数是偶函数（1）求实数 m 的值；（2）若关于 x 的不等式 2kf（x）3k2+1 在（，0）上恒成立，求实数 k 的取值范围解：（1）因为函数即 f（x）m2x+2x 是定义域为 R 的偶函数，所以有 f（x）f（
18、x），即 m2x+2xm2x+2x，即（m1）（2x2x）0 恒成立，故 m1（2）f（x）0，3k2+10，且 2kf（x）3k2+1 在（，0）上恒成立，故原不等式等价于在（，0）上恒成立，又 x（，0），所以 f（x）（2，+），所以，从而，即有 3k24k+10，因此，19如图，某机械厂要将长 6m，宽 2m 的长方形铁皮 ABCD 进行剪裁，已知点 F 为 AD 的中点，点 E 在边 BC 上，剪裁时先将四边形 CDFE 沿直线 EF 翻折到 MNFE 处（点 C、D分别落在直线 BC 下方点 M、N 处，FN 交边 BC 于点 P）再沿直线 PE 剪裁，若设EFP（1）试用 表示
19、PF 的长，并求出 的取值范围；（2）若使剪裁得到的四边形 MNPE 面积最大，请给出剪裁方案，并说明理由解：（1）如图，过点 P 作 AD 的垂线，垂足为 H，若EFP，则EFD，PFH2，所以，所以，当 E，C 两点重合时，此时，所以，又因为点 C，D 分别落在直线 BC 下方点 M，N 处，要使得 C 点落在直线 BC 的下方，只需即可，要使得 D 点落在直线 BC 的下方，此时要满足，即，又即，解得，所以，综上所述，的取值范围为于是（2），所以四边形 MNPE 的面积为，当 且 仅 当，即时 取“，此 时，答：当时，沿直线 PE裁 剪，四边形 MNPE 面积最大，最大值为20已知椭圆，
20、圆 Q：x2+y24x2y+30 的圆心 Q 在椭圆 C上，点 P（0，1）到椭圆 C 的右焦点的距离为 2，过点 P 作直线 l 交椭圆于 A、B 两点（1）求椭圆 C 的方程；（2）若，求直线 l 的方程；（3）若 SAQBttanAQB，求 t 的取值范围解：(1)因为椭圆的右焦点 F(c,0),|OP|1,|PF|2,所以|OF|，即 c,所以 a2b23,因为圆 Q：x2+y24x2y+30 的圆心 Q 坐标为(2,1),又因为点 Q 在椭圆上，所以+1,联立解得 a26,b23,所以椭圆 C 的方程为+1(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),设直线 l 的方程为 ykx+1
21、,联立,得(1+2k2)x2+4kx40,所以 x1+x2,x1x2,所以|AB|x1x2|,，因为|AB|，所以,化简得 12k44k210,所以 k2,所以 k,所以直线 l 的方程为 xy+0 或 x+y0(3)SAQBttanAQB|QA|QB|sinAQB,所以 t|QA|QB|cosAQB(x12,y11)(x22,y21)(x12)(x22)+(y11)(y21)x1x22(x1+x2)+4+y1y2(y1+y2)+1x1x22(x1+x2)+4+(kx1+1)(kx2+1)(kx1+1)+(kx2+1)+1(1+k2)x1x2+42(x1+x2)(1+k2)+4+2+2,设 4
22、k1m,则 k,当 m0 时，2，则 t1,当 m0 时，2+22+22+2,若 m0 时，m+26,当且仅当 m3 时，取等号，所以4,t42,所以 0t2,若 m0 时，m+26,当且仅当 m3 时，取等号，所以2,1t0,所以 t 的取值范围为1,0)(0,221已知集合 P 的元素个数为 3n（nN*）且元素均为正整数，若能够将集合 P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合 A，B，C，即 PABC，AB，AC，BC，其中 Aa1，a2，an，Bb1，b2，bn，Cc1，c2，cn，且满足 c1c2cn，ak+bkck，k1，2，n，则称集合 P 为“完美集合”（）若集合 P1
23、，2，3，Q1，2，3，4，5，6，判断集合 P 和集合 Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（）已知集合 P1，x，3，4，5，6为“完美集合”，求正整数 x 的值；（）设集合 Px|1x3n，nN*，证明：集合 P 为“完美集合”的一个必要条件是n4k 或 n4k+1（nN*）解：（）将 P 分为1，2，3满足条件，是完美集合将 Q 分成 3 个，每个中有两个元素，则 a1+b1c1，a2+b2c2；Q 中所有元素之和为 21，21210.5c1+c2，不符合要求（）若集合 A1，4，B3，5，根据完美集合的概念知集合 C6，7；若集合 A1，5，B3，6，根据完美集合的概念知集合 C4，11；若集合 A1，3，B4，6，根据完美集合的概念知集合 C5，9；故 x 的可能值为：7，9，11 中任一个（）证明：P 中所有元素之和为：1+2+3+3na1+b1+c1+a2+b2+c2+an+bn+cn+2（c1+c2+cn）；cn3n；c1+c2+cn1+3n；c1+c2+cn1；等式左边为正整数，则等式右边 9n（n1）可以被 4 整除；n4k 或 n14k（nN*），即 n4k 或 n4k+1（nN*）
