1、22.2 二次函数与一元二次方程1.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图所示,则关于x的方程x2+ax+b=0的根是()A.无解B.x=1C.x=-2D.x1=-1,x2=2知识点1 二次函数与一元二次方程的关系答案1.D因为该二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为-1和2,所以x2+ax+b=0的根为x1=-1,x2=2.2.教材P47习题22.2T4变式 2022周口模拟若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-2,x2=4,则二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为()A.直线x=-3B.直线x=3C.直线x=1D.直线x=-1知识点1 二次函数与一元二
2、次方程的关系答案3.2022温州二中期中抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为()A.0B.1C.2D.3知识点1 二次函数与一元二次方程的关系答案3.B令x2+4x+4=0,则=42-414=0,抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数是1.知识点1 二次函数与一元二次方程的关系答案4.A将二次函数y=ax2-1的图象向右平移2个单位长度,得到二次函数y=a(x-2)2-1的图象,因为二次函数y=ax2-1的图象经过点(-2,0),所以二次函数y=a(x-2)2-1的图象经过点(0,0),又二次函数y=a(x-2)2-1的图象的对称轴为直线x=2,所以其图象必过点(4,0),即二次函数y
3、=a(x-2)2-1的图象与x轴的交点为(0,0),(4,0),所以方程a(x-2)2-1=0的实数根为x1=0,x2=4.5.2021成都中考在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点,则k=.知识点1 二次函数与一元二次方程的关系答案5.1令x2+2x+k=0,抛物线与x 轴只有一个交点,=22-4k=0,k=1.6.2021北京门头沟区期中已知二次函数y=2x2-mx-m2.(1)求证:对于任意实数m,二次函数y=2x2-mx-m2的图象与x轴总有交点.(2)若这个二次函数的图象与x轴交于点A,B(1,0),求点A的坐标.知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
4、答案6.(1)证明:令2x2-mx-m2=0,则=(-m)2-42(-m2)=m2+8m2=9m20,所以对于任意实数m,二次函数y=2x2-mx-m2的图象与x轴总有交点.7.2022烟台期中下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y(精确到0.01)的部分对应值,据此判断方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)的一个根x所在的范围是()A.6x6.17B.6.17x6.18C.6.18x6.19D.6.19x6.20知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根答案7.C由题中表格中的数据可得当x=6.18时,y=-0.010,由此可得方程ax2+bx+c=0的一
5、个根x所在的范围是6.18x6.19.8.原创题如图,以(-1,4)为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴正半轴交于P点,则一元二次方程ax2+bx+c=0的负实数根的取值范围是()A.-2x-1B.-3x-2C.-5x-4D.-6x-5知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根答案8.C由题意,知抛物线的对称轴为直线x=-1,因为对称轴右侧图象与x轴交点的横坐标的取值范围是2x3,所以对称轴左侧交点的横坐标的取值范围是-5x-4,故一元二次方程ax2+bx+c=0的负实数根的取值范围是-5x0的解集是()A.x-1或x3B.-1x3C.-1x4D.x3知识点3 二次函数与不
6、等式的关系答案10.D由题中函数图象可知,当x3时,函数图象在x轴的上方,所以不等式ax2+bx+c0的解集是x3.11.如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+nax2+bx+c的解集是.知识点3 二次函数与不等式的关系答案11.-1x4观察题中函数图象,知当-1x4时,直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的下方,所以不等式mx+nax2+bx+c的解集为-1x0的解集.知识点3 二次函数与不等式的关系答案(2)当y=0时,x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1,该函数图象与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0
7、).(3)由题中表格知,当y=-3时,x=-2或0,所以方程ax2+bx+c+3=0的根为x=-2或x=0.a=10,抛物线开口向上,不等式ax2+bx+c+30的解集是x0.1.一题多解2022合肥四十五中模拟已知二次函数y=-x2+bx+c的图象的顶点坐标为(1,5),那么关于x的一元二次方程-x2+bx+c-4=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定答案1.A解法一由题意,知二次函数的解析式为y=-(x-1)2+5=-x2+2x+4,则-x2+bx+c-4=0即-x2+2x=0,解得x=0或2,故该方程有两个不相等的实数根.解法二
8、要判断方程-x2+bx+c-4=0的根的情况,只需判断抛物线y=-x2+bx+c与直线y=4的交点情况.因为抛物线y=-x2+bx+c开口向下,顶点坐标为(1,5),所以画出抛物线y=-x2+bx+c与直线y=4如图所示,由图可知抛物线y=-x2+bx+c与直线y=4有两个交点,故方程-x2+bx+c-4=0有两个不相等的实数根.2.2021合肥三十八中月考若x1,x2(x1x2)是方程(x-a)(x-b)=1(ab)的两个根,则实数x1,x2,a,b的大小关系为()A.x1x2abB.x1ax2bC.x1abx2D.ax1bx2答案2.C画出二次函数y=(x-a)(x-b)与直线y=1的图象
9、,如图所示,两图象的交点的横坐标就是方程(x-a)(x-b)=1的两个根,即x1,x2,而a,b是二次函数y=(x-a)(x-b)的图象与x轴的两个交点的横坐标,结合图象知 x1abx2.3.2022杭州上城区期中二次函数y=x2+bx的图象如图所示,对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-2x3的范围内有解,则t的取值范围是()A.t-1B.-1t3C.-1t8D.3t0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0nm)有两个整数根,这两个整数根是()A.-2或0 B.-4或2 C.-5或3 D.-6或4答案5.2021洛阳期末抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的根是.答案5.x1=-2,x2=5一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx可变形为a(x-1)2+b(x-1)+c=0.把抛物线y=ax2+bx+c向右平移1个单位长度得y=a(x-1)2+b(x-1)+c.因为抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(4,0),所以抛物线y=a(x-1)2+b(x-1)+c与x轴的交点坐标为(-2,0),(5,0),所以一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0的根为x1=-2,x2=5.答案答案
