1、2015-2016学年河北省邯郸市广平一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知条件p：xy0，条件q：，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于（）A6B7C8D93在ABC中，A=60，AB=2，且ABC的面积为，则BC的长为（）AB3CD74已知ABC的周长为20，且顶点B （0，4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A（x0）B（x0）C（x0）D（x0
2、）5某企业生产甲、乙两种产品已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A12万元B20万元C25万元D27万元6在实数集上定义运算：xy=x（1y），若不等式（xa）（x+a）1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A（1，1）B（0，2）CD7已知命题p：xR，使得x+2，命题q：xR，x2+x+10，下列命题为真的是（）ApqB（p）qCp（q）D（p）（q）8已知数列an为等比数列，且a
3、4a6=2a5，设等差数列bn的前n项和为Sn，若b5=2a5，则S9=（）A36B32C24D229对于任意实数a、b、c、d，命题：若ab，则；若ab，cd，则acbd；若ac2bc2，则ab；若ab0，cd，则acbd其中真命题的个数是（）A0B2C1D310已知x0，y0，且，若x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围（）Am4或m2Bm2或m4C4m2D2m411已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为（）A10BCD12椭圆=1过右焦点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差为d的取值集合为（）A4，5，
4、6，7B4，5，6C3，4，5，6D3，4，5，6，7二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（nN*）等于14给出下列命题：命题“同位角相等，两直线平行”的否命题为：“同位角不相等，两直线不平行，”“x1”是“x24x+30”的必要不充分条件“p或q是假命题”是“p为真命题”的充分不必要条件对于命题p：xR，使得x2+2x+20，则p：xR均有x2+2x+20其中真命题的序号为（把所有正确命题的序号都填在横线上）15ABC中，A（2，4）、B（1，2）
5、、C（1，0），D（x，y）在ABC内部及边界运动，则z=xy的最大值为最小值为16已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.17已知命题P：（1x）（x+4）0，q：x26x+9m20，m0，若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围18已知公差不为零的等差数列an的前3项和S3=9，且a1、a2、a5成等比数列求数列an的通项公式及前n项的和Sn19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（）求角A的大小；（）若，求A
6、BC面积的最大值20已知数列an的前n项和Sn=n2+kn（其中kN+），且Sn的最大值为8（1）确定常数k，求an；（2）求数列的前n项和Tn21为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0x10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（）求k的值及f（x）的表达式（）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值22已知椭圆C的两个焦点分别为F
7、1（1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程2015-2016学年河北省邯郸市广平一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知条件p：xy0，条件q：，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】应用题；对应思想；定义法；简易逻辑【分析】根据充分
8、条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：条件p：xy0，条件q：，pq，qp，p是q的充要条件故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据定义进行判断即可，比较基础2设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于（）A6B7C8D9【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2（11）+8d=6，解得d=2，所以，所以当n=6时，Sn取最小值故选A【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公
9、式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力3在ABC中，A=60，AB=2，且ABC的面积为，则BC的长为（）AB3CD7【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】由ABC的面积SABC=，求出AC=1，由余弦定理可得BC，计算可得答案【解答】解：SABC=ABACsin60=2AC，AC=1，ABC中，由余弦定理可得BC=，故选A【点评】本题考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出 AC，是解题的关键4已知ABC的周长为20，且顶点B （0，4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A（x0）B（x0）C（x0）D（x0）【考点】椭圆的定义【专题】计算题【分析】根据三角形的周长和定点，得
10、到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点【解答】解：ABC的周长为20，顶点B （0，4），C （0，4），BC=8，AB+AC=208=12，128点A到两个定点的距离之和等于定值，点A的轨迹是椭圆，a=6，c=4b2=20，椭圆的方程是故选B【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点5某企业生产甲、乙两种产品已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得
11、利润3万元该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A12万元B20万元C25万元D27万元【考点】简单线性规划的应用【专题】应用题；压轴题【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且联立解得由图可知，最优解为P（3，4），z的最大值为z=53+34=27（万元）故选D【点评】在解决线性规划的应用题时，其
12、步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数Z与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中6在实数集上定义运算：xy=x（1y），若不等式（xa）（x+a）1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A（1，1）B（0，2）CD【考点】函数恒成立问题【专题】计算题；转化思想【分析】先利用定义把（xa）（x+a）整理成（x）2+a2a+，即把原不等式转化为 a2a+1恒成立来求a即可【解答】解：由题知（xa）（x+a）=（xa）1（x+a）=x2+x+a2a=（x）2+a2a+不等式（xa）（x+a）1对任意实数x都成立转化为（x）2
13、+a2a+1对任意实数x都成立，则0，即a2a+1恒成立，解可得a故选C【点评】本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题7已知命题p：xR，使得x+2，命题q：xR，x2+x+10，下列命题为真的是（）ApqB（p）qCp（q）D（p）（q）【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】本题的关键是判定命题p：xR，使得，命题的真假，在利用复合命题的真假判定【解答】解：对于命题p：xR，使得，当x0时，命题p成立，命题p为真命题，显然，命题q为真根据复合命题的真假判定，pq为真，（p）q为假，p（q）为假，（p）（q）为假【点评】本题考查的知
14、识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断8已知数列an为等比数列，且a4a6=2a5，设等差数列bn的前n项和为Sn，若b5=2a5，则S9=（）A36B32C24D22【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由等比数列的性质可知，结合已知可求a5，进而可求b5，代入等差数列的求和公式S9=9b5可求【解答】解：由等比数列的性质可知，a5=2b5=2a5=4则S9=9b5=36故选A【点评】本题主要考查了等差数列的性质、求和公式及等比数列的性质的简单应用，属于基础试题9对于任意实数a、b、c、
15、d，命题：若ab，则；若ab，cd，则acbd；若ac2bc2，则ab；若ab0，cd，则acbd其中真命题的个数是（）A0B2C1D3【考点】命题的真假判断与应用【专题】定义法；简易逻辑【分析】若ab，若a，b同号，则；若ab，cd，具有可加些即a+cb+d，但不能得出acbd；若ac2bc2，可知c2不等于零，由不等式的性质可得ab；若ab0，cd，需保证c，d都为正数，才能得出acbd【解答】解：若ab，若a，b同号，则，故错误；若ab，cd，具有可加些即a+cb+d，但不能得出acbd，故错误；若ac2bc2，可知c2不等于零，由不等式的性质可得ab，故正确；若ab0，cd，需保证c，
16、d都为正数，才能得出acbd，故错误故选C【点评】考查了不等式的基本性质，可乘性，可加性，需注意成立的条件10已知x0，y0，且，若x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围（）Am4或m2Bm2或m4C4m2D2m4【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】计算题【分析】先把x+2y转会为（x+2y）（）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2ym2+2m求得m2+2m8，进而求得m的范围【解答】解：x+2y=（x+2y）（）=4+4+2=8x+2ym2+2m恒成立，m2+2m8，求得4m2故选C【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用考查了学生分析问题和解决问题的能力
17、11已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为（）A10BCD【考点】等差数列的性质；三角形中的几何计算【专题】计算题【分析】由三角形ABC的三边构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a，a+4，a+8（a大于0），由三角形的边角关系得到a+8所对的角为120，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出三角形的三边长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：由ABC三边长构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a，a+4，a+8（a0），a+8所对的角为120，cos120=，整理得：a22a24=0，即（a6）（a+4）
18、=0，解得：a=6或a=4（舍去），三角形三边长分别为6，10，12，则SABC=610sin120=15故选C【点评】此题考查了等差数列的性质，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键12椭圆=1过右焦点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差为d的取值集合为（）A4，5，6，7B4，5，6C3，4，5，6D3，4，5，6，7【考点】椭圆的简单性质【专题】分类讨论；分析法；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出椭圆的a，b，c，根据椭圆方程求得过右焦点的最短弦长和最长弦长，即等差数列的第一项和
19、第n项，再根据等差数列的公差d，求出n的取值集合【解答】解：椭圆=1的a=，b=，c=，右焦点为（，0），令x=，代入椭圆方程可得y=2，则过右焦点的最短弦的弦长为a1=4，最长弦长为圆的直径长an=5，4+（n1）d=5，d=，d，4n7，nN，故选：A【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及等差数列的通项公式等知识，解题时要学会使用椭圆的几何性质解决椭圆的弦长问题，提高解题速度二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（nN*）等于6【考点】等比数列的通
20、项公式【专题】应用题；等差数列与等比数列【分析】由题意可得，第n天种树的棵数an是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足sn100，解不等式可求【解答】解：由题意可得，第n天种树的棵数an是以2为首项，以2为公比的等比数列sn=2n+121002n+1102nN*n+17n6，即n的最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定14给出下列命题：命题“同位角相等，两直线平行”的否命题为：“同位角不相等，两直线不平行，”“x1”是“x24x+30”的必要不充分条件“p或q是假命题”是“p为
21、真命题”的充分不必要条件对于命题p：xR，使得x2+2x+20，则p：xR均有x2+2x+20其中真命题的序号为（把所有正确命题的序号都填在横线上）【考点】命题的真假判断与应用【专题】对应思想；定义法；简易逻辑【分析】命题的否定是即否定条件，又否定结论；“x1”推不出“x24x+30”，“x24x+30”可以推出x1，应是必要不充分条件；“p或q是假命题”p可真可假，推不出“p为真命题”；对于存在命题的否定，应把存在改为对任意的，在否定结论，命题p：xR，使得x2+2x+20，则p：对任意的xR均有x2+2x+20；【解答】解：命题的否定是即否定条件，又否定结论，命题“同位角相等，两直线平行”
22、的否命题为：“同位角不相等，两直线不平行，”故正确；“x1”推不出“x24x+30”，“x24x+30”可以推出x1，应是必要不充分条件，故正确；“p或q是假命题”p可真可假，推不出“p为真命题”故错误；对于存在命题的否定，应把存在改为对任意的，在否定结论，命题p：xR，使得x2+2x+20，则p：对任意的xR均有x2+2x+20，故错误；故答案为【点评】考查了四种命题和存在命题的否定，属于基础题型，应熟练掌握15ABC中，A（2，4）、B（1，2）、C（1，0），D（x，y）在ABC内部及边界运动，则z=xy的最大值为1最小值为3【考点】简单线性规划【专题】数形结合【分析】由平面区域的构成状
23、况，区分一下直线AB的斜率与1的大小关系，确定在点A还是点B取最值【解答】解；由A、B、C三点的坐标找出可行域，先作直线xy=0，对该直线进行平移，可以发现经过点B时z取得最小值3，经过点C时z取得最大值1则z=xy的最大值为 1最小值为3；故答案为：1；3【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题16已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=1【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】先根据A+C=2B及A+B+C=180求出B的值，再由正弦定理求得sinA的值，再由边的关系可确定A的值，从而可得到C的值确定
24、最后答案【解答】解：由A+C=2B及A+B+C=180知，B=60，由正弦定理知，即；由ab知，AB=60，则A=30，C=180AB=90，于是sinC=sin90=1故答案为：1【点评】本题主要考查正弦定理的应用和正弦函数值的求法高考对三角函数的考查以基础题为主，要强化记忆三角函数所涉及到的公式和性质，做到熟练应用三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.17已知命题P：（1x）（x+4）0，q：x26x+9m20，m0，若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题；转化思想
25、；定义法；简易逻辑【分析】根据一元二次不等式的解法，分别求出命题p和q，根据q是p的必要不充分条件，可得pq，求出实数m的取值范围；【解答】解：由：（1x）（x+4）0，得4x1；由x26x+9m20，得3mx3+m（m0）由q是p的必要不充分条件，即pq，q推不出p，由pq得，解得m7故m的取值范围是7，+）【点评】本题主要考查分式不等式的解法，充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断方法，属于基础题18已知公差不为零的等差数列an的前3项和S3=9，且a1、a2、a5成等比数列求数列an的通项公式及前n项的和Sn【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式【专题】计算题；转化思想；综合法
26、；等差数列与等比数列【分析】由已知利用等差数列的前n项和公式和等比数列的性质列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列an的通项公式及前n项的和Sn【解答】解：公差不为零的等差数列an的前3项和S3=9，且a1、a2、a5成等比数列，解得a1=1，d=2，an=1+（n1）2=2n1Sn=n1+=n2【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列和等差数列的性质的合理运用19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（）求角A的大小；（）若，求ABC面积的最大值【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题【分析】（I）把条件中所给的既有角又
27、有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果（II）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值【解答】解：（），所以（2cb）cosA=acosB由正弦定理，得（2sinCsinB）cosA=sinAcosB整理得2sinCcosAsinBcosA=sinAcosB2sinCcosA=sin（A+B）=sinC在ABC中，sinC0，（）由余弦定理，b2+c220=bc2bc20bc20，当且仅当b=c时取“=”三角形的面积三角形面积的最大值为【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的
28、关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用20已知数列an的前n项和Sn=n2+kn（其中kN+），且Sn的最大值为8（1）确定常数k，求an；（2）求数列的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【专题】综合题【分析】（1）由二次函数的性质可知，当n=k时，取得最大值，代入可求k，然后利用an=snsn1可求通项（2）由=，可利用错位相减求和即可【解答】解：（1）当n=k时，取得最大值即=k2=8k=4，Sn=n2+4n从而an=snsn1=（n1）2+4（n1）=又适合上式（2）=两式相减可得，=【点评】本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的通项公式，
29、及数列求和的错位相减求和方法是数列求和中的重要方法，也是高考在数列部分（尤其是理科）考查的热点，要注意掌握21为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0x10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（）求k的值及f（x）的表达式（）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值【考点】函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】应用
30、题【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值【解答】解：（）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为再由C（0）=8，得k=40，因此而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费
31、用之和为（），令f（x）=0，即解得x=5，（舍去）当0x5时，f（x）0，当5x10时，f（x）0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一22已知椭圆C的两个焦点分别为F1（1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过
32、点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求【解答】解：（1）设椭圆C的方程为根据题意知，解得，故椭圆C的方程为（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x1）由，得（2k2+1）x24k2x+2（k21）=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即=，解得，即k=故直线l的方程为或【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目
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