1、第2课时 参数方程和普通方程的互化【自主预习】1.普通方程 相对于参数方程而言,直接给出_的 方程叫做普通方程.点的坐标间的关系 2.曲线的普通方程和参数方程的互相转化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过_而从参数方程得到普通方程.消去参数(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如 _,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的 关系_,那么 就是曲线的参数方程.在参 数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的_保 持一致.x=f(t)y=g(t)取值范围 xf t,yg t 【即时小测】1.圆x2+(y+1)2=2的参数方程为()A.(为参数)B.(为参
2、数)C.(为参数)D.(为参数)x2cos,y1 2sin x2cos,y12sin x2cos,y1 2sin x2cos,y12sin 【解析】选D.圆x2+(y+1)2=2的圆心坐标为C(0,-1),半 径为 ,所以它的参数方程为 (为参 数).2x2cos,y12sin,2.参数方程 (t为参数)化为普通方程为_.【解析】消去参数方程 中的参数t,得到普通方程为y2=4x.答案:y2=4x 2xty2t ，2xty2t ，【知识探究】探究点 参数方程和普通方程的互化 1.同一曲线的参数方程是否唯一?提示:求曲线的参数方程,关键是灵活确定参数,由于参数不同,同一曲线的参数方程也会有差异,
3、但是一定要注意等价性.2.将曲线的参数方程和普通方程互相转化需要注意什么?提示:尽管同一曲线的参数方程不唯一,但是一定要注意方程与曲线的等价性.【归纳总结】1.曲线的参数方程与普通方程互化的作用(1)将曲线的参数方程化为普通方程,可借助于熟悉的普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、性质等.(2)将曲线的普通方程化为参数方程,可用参变量作为中介来表示曲线上点的坐标,从而给研究与曲线有关的最大值、最小值以及取值范围等问题带来方便.2.参数方程化为普通方程的三种常用方法:(1)代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数.(2)三角函数法:利用三角恒等式消去参数.(3)整体消元法:
4、根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去.特别提醒:化参数方程为普通方程F(x,y)=0:在消参过程中注意变量x,y取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围,确定f(t)和g(t)值域得x,y的取值范围.类型一 参数方程化为普通方程【典例】将下列参数方程化为普通方程,并判断曲线的形状.(1)(2)2x1 cos ysin.，（为参数）1 tx1 t(t1,t)2ty.1 t ，为参数【解题探究】典例(1)(2)中如何分别消去参数?提示:(1)利用三角函数基本关系式消去参数.(2)两式相加消去参数或代入法消去参数.【解析】(1)由 所以(x-1)2+y=cos2+sin2=1,即y=-(x-1)
5、2+1(0y1),表示抛物线弧段,如图.22x1 cosx 1cosysinysin ，得，(2)方法一:注意到两式中分子分母的结构特点,因而可以采取加减消参的办法.1 t2t1 txy1,1 t1 t1 t1 t2x1x11 t1 t 又，故，2 1 t22t2y2y21 t1 t1 t，故，所以所求的方程为x+y=1(x-1,y2).方程表示直线(去掉一点(-1,2).方法二:只要把t用x或y表示,再代入另一表达式即可.由 所以x+xt=1-t,所以(x+1)t=1-x,即 代入 所以x+y=1(x-1,y2).方程表示直线(去掉一点(-1,2).1 tx,1 t1 xt1 x，1 x22
6、 1 x2t1 xy1 x1 x1 t1 x 1 x11 x ，【方法技巧】消去参数方程中参数的技巧(1)加减消参数法:如果参数方程中参数的符号相等或相反,常常利用两式相减或相加的方法消去参数.(2)代入消参数法:利用方程思想,解出参数的值,代入另一个方程消去参数的方法,称为代入消参法,这是非常重要的消参方法.(3)三角函数式消参数法:利用三角函数基本关系式sin2+cos2=1消去参数.【变式训练】1.将参数方程 化为普通 方程为_.22x1 tty1 t ，（为参数）【解析】将参数方程 两式相加,得x+y=2,其中 x=1+t21.答案:x+y=2(x1)22x1 ty1 t ，2.将参数
7、方程 (a,b为大于零的常数,t为参 数)化为普通方程,并判断曲线的形状.a1x(t)2tb1y(t)2t ，【解析】因为 所以t0时,xa,+),t0时,x(-,-a.由 两边平方可得 由 两边平方可得 a1x(t)2t，a1x(t)2t2222a1x(t2)4t，b1y(t)2t2222b1y(t2)4t，并化简,得 所以普通方程为 所以方程表示焦点在x轴上的双曲线.2211ab2222xy1 a0 b0.ab（，）2222xy1 ab0.ab（，为大于 的常数）类型二 普通方程化为参数方程【典例】(1)把方程xy=1化为以t为参数的参数方程 是()A.B.C.D.1212xtyt ，xs
8、int1ysint，xcost1ycost，xtant1ytant，(2)根据下列条件求 的参数方程:设y=sin,为参数;设x=2t,t为参数.22xy14【解题探究】1.题(1)中x,y的范围是什么?提示:x,y均为不等于0的实数.2.普通方程化参数方程时需注意什么?提示:普通方程化参数方程时要注意参数的范围.【解析】(1)选D.xy=1,x取非零实数,而A,B,C中的x的 范围不符合要求.(2)把y=sin代入方程,得到 于是x2=4(1-sin2)=4cos2,22xsin14 ，即x=2|cos|,由于具有任意性,sin与cos的 符号可以描述平面直角坐标系中点的坐标的符号,所以 取
9、x=2cos.因此,的参数方程是 22xy14x2cos ysin.，（为参数）把x=2t代入方程,得到 于是y2=1-t2,即 .因此,方程 的参数方程是 224ty14，2y1 t.22xy142x2tty1 t，（为参数）和2x2t.ty1 t，（为参数）【方法技巧】求曲线的参数方程的方法(1)如果已知曲线的普通方程,根据所选参数可利用代入法确定其参数方程.(2)求动点的轨迹的参数方程时,应先根据题意选择适当的参数,利用已知条件求参数方程.【变式训练】1.圆x2+y2+4x-6y=0的参数方程为_.【解析】圆x2+y2+4x-6y=0变为(x+2)2+(y-3)2=13,即 令 则 令
10、得 22x2y 311313（）（），22x2cos13（），x13cos 2，22y 3sin13（），y13sin 3.故圆x2+y2+4x-6y=0的参数方程为 答案:x213cos y313sin.，（为参数）x213cos y313sin.，（为参数）2.把下面曲线的普通方程化为参数方程.设x=acos2,为参数.xya，【解析】把x=acos2代入普通方程 得 所以 所以y=a(1-|cos|)2,所以普通方程 化为参数方程为 xya，a|cos|ya，ya 1|cos|（），xya22xacos.ya 1cos ，（为参数）（）类型三 参数方程与普通方程互化的应用【典例】已知x,
11、y满足x2+(y-1)2=1,求:(1)3x+4y的最大值和最小值.(2)(x-3)2+(y+3)2的最大值和最小值.【解题探究】典例中方程表示的曲线形状是什么?曲线的参数方程是什么?提示:方程表示圆,参数方程为 xcos,()y1 sin.为参数【解析】由圆的普通方程x2+(y-1)2=1得圆的参数方程 为 (1)3x+4y=3cos+4sin+4=4+5sin(+),其中 且的终边过点(4,3).因为-55sin(+)5,所以-14+5sin(+)9,所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.xcos,()y1 sin.为参数3tan,4(2)(x-3)2+(y+3)2=(cos-3)2+
12、(sin+4)2=26+8sin-6cos=26+10sin(+).其中tan=,且的终边过点(4,-3).因为-1010sin(+)10,所以1626+10sin(+)36,所以(x-3)2+(y+3)2的最大值为36,最小值为16.34【延伸探究】1.若本例条件不变,求 的取值范围.【解析】方法一:由于 (为参数)所以 所以sin-kcos=k-3,即 y2x 1xcos,y1 sin ，y23 sink.x 11 cos21 k sink 3.所以 依题意,得 所以 解得 所以 的取值范围是 2k3sin().1 k 2k3|11 k，22k3()11 k，4k.3y2x 14,).3方
13、法二:由于 所以问题可以看作圆x2+(y-1)2=1上的动点P(x,y)与定点A(-1,-2)的连线的斜率.设直线y+2=k(x+1)与圆相切,则圆心(0,1)到直线kx-y+k-2=0的距离为1,即 解得 y2y2,x 1x1 2k3d11 k，4k.3若过A(-1,-2)的直线的斜率不存在时,显然与圆相切,结合图形,得 的取值范围是 y2x 14,).32.若本例条件变为:已知P(x,y)是极坐标方程=2sin 表示的曲线上的任意一点,如何求3x+4y的最大值和最小值?【解析】极坐标方程=2sin即2=2sin,直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,得圆的参数方程为 所以3x+4y=3co
14、s+4sin+4=4+5sin(+)-1,9,所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.xcos,()y1 sin.为参数【方法技巧】求有关最值或取值范围问题的技巧(1)求与圆上的动点有关的最大值、最小值或取值范围问题,常常利用圆的参数方程,将问题转化为三角函数的最大值、最小值或取值范围解决,这样可使问题变得简便.(2)形如y=asin+bcos 的三角函数,通常转化为y=的形式求最大值、最小值.22yab sin()【变式训练】1.圆x2+y2=1上任意一点的坐标为(x,y),则xy的最大值为_.【解析】圆x2+y2=1的参数方程为 则 所以xy的最大值为 答案:xcos ysin ，（为参
15、数），11xysin cos sin 222 ，1.2122.(2015长沙高二检测)在直角坐标平面内,以坐标原 点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点M 的极坐标为 曲线C的参数方程为 (为参数)求点M到曲线C上的点的距离的最小值.x12cos,y2sin.(4 2,)4，【解析】由点M的极坐标 得直角坐标为(4,4),由曲线C的参数方程 (为参数)得普通方 程为(x-1)2+y2=2,圆心坐标为C(1,0),=5.所以点M到曲线C上的点的距离的最小值为 x12cos,y2sin.22CM4 1452(4 2,)4，3.(2016成都高二检测)在直角坐标系xOy中,直线l的 方程
16、为x-y+4=0.以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴的 极坐标系中,曲线C的极坐标方程为(1)求直线l的极坐标方程,曲线C的直角坐标方程.(2)若点P是曲线C上任意一点,P点的直角坐标为(x,y),求x+2y的最大值和最小值.24 2 cos60.4()【解析】(1)直线l的方程x-y+4=0,因为x=cos,y=sin,所以l的极坐标方程为:cos-sin+4=0.又曲线C的极坐标方程:24 2 cos60,4()所以2-4cos-4sin+6=0,因为2=x2+y2,x=cos,y=sin,曲线C的直角坐标方程:(x-2)2+(y-2)2=2.(2)由(1)知曲线C参数方程为 (为参数),
17、所以x+2y=(2+cos)+2(2+sin)=6+(cos+2sin)=6+sin(+).当sin(+)=-1时,x+2y有最小值为6-,当sin(+)=1时,x+2y有最大值为6+.x22cos,y22sin 222101010自我纠错 参数方程化为普通方程的综合问题【典例】已知直线l:(t为参数,为l的 倾斜角),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立 极坐标系,曲线C为:2-6 cos+5=0.(1)若直线l与曲线C相切,求 的值.(2)设曲线C上任意一点的直角坐标为(x,y),求x+y的取 值范围.x1 tcosytsin ，【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是忽视了的取值范围,0,)所以有两个值 正确解答过程如下:5.66或【解析】(1)曲线C:2-6cos+5=0的直角坐标方程为x2+y2-6x+5=0,即(x-3)2+y2=4,所以曲线C为圆心为(3,0),半径为2的圆.直线l的方程为xsin-ycos+sin=0,因为直线l与曲线C相切,所以 即sin=因为0,),所以 223sin sin 2sincos ，5.66 或1.2(2)设x=3+2cos,y=2sin,则x+y=3+2cos+2sin 所以x+y的取值范围是 3 2 2sin(),4 3 2 2,3 2 2.