1、上海市新中高级中学2006-2007学年度第二学期高三数学第一次月考试卷一、填空(412=48) 1函数y=的定义域为 。 2计算:arc cos(cos)= 。 3已知集合 A=x|x216,B=x|xa,若AB=,则实数a的取值范围是 。 4已知a、b、c是锐角三角形ABC中角A、B、C的对边,若b=2,c=3,且ABC的面积为, 则a= 。 5(理)展开式中含有常数项,则正整数n的最小值为 。 (文)在等差数列an中,已知a3=2,则a1+a2+a3+a4+a5= 。 6(理)圆=cos-sin,(0,02)的圆心的极坐标是 。 (文)在条件 下,使=y-2x取得最大值时的点的坐标是 。
2、P1P2P3 7如图P1是一块半径为1的半圆形纸板,在P1的左下端剪去一个半径为的半圆得图形P2,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径),得图形P3、P4、Pn、。记纸板Pn的面积为Sn,则 。 8浦东新区二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇,排列次序可以任意排列,则最先和最后交流的论文不能来自同类学校的概率是 。 9已知xC,且,则= 。10设数列an的前n项和为Sn,令Tn=,称Tn为数列a1、a2、an的理想数。 已知a1、a2、a3、a500的理想数为2004,那么数列6、a1、a2、a3、a500的理想数为 。 a1a2 a3 a4
3、a5 a6 a7 a8 a9 11在数学拓展课上,老师规定了一种运算:a*b= ,例如:1*2=1,3*2=2,则函数的值域为 。12已知数列,把数列an的各项排成如右三角形形状,记A(m,n)表示第m行、第n列的项,则A(10,5)= 。二、选择(44=16)13已知A=y|y=,B=y|y=,则A为( )(A);(B);(C)0,;(D)。14若奇函数f(x)在(0,+)是增函数,又f(-3)=0,则x|0的解集为( )(A)(-3,0)(3, +);(B)(-3,0)(0,3);NMPKQmo(C)(-,-3)(3,+);(D)(-,-3)(0,3)。15如图是半径为2的圆,切直线于点P
4、,射线PK从PN出发,绕P点按逆时钟方向旋转到PM,旋转过程中,PK交圆于点Q,设OP按逆时钟方向旋转到OQ所形成的角为x,设弓形PmQ的面积为S=f(x),那么f(x)的图形大致是( )(A)224224224224(B)(C)(D)f(x)f(x)f(x)f(x)xxxx16定义在R上函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为, 当x 0,时,f(x)=sinx,则f()的值为( )(A);(B)-;(C)-;(D)。三、解答题(12+12+14+14+16+18)17已知。(1)化简f(x);(2)若f(x)=,求x; (3)求出f(x)的值域。解:18已知z为虚数,
5、且|2z+15|=。求|z|;设u=(3)z,若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上,求复数z; 若z2+2为实数,且z恰好为实系数方程x2+px+q=0的两根,试写出此方程。解:192005年禽流感的爆发,给某疫区禽类养殖户带来了较大的经济损失,某养殖户原来投资共25万,第一个月损失的金额为投资额的,以后由于政府重视,积极防治,疫情趋缓,从第二个月起,每一个月的损失是上月损失的。问:(1)前三个月中,该养殖户总共损失金额多少万元? (2)为了维护养殖专业户的利益,政府除了加大防治力度,扑灭疫情之外,还决定给养殖 户一定的经济补偿,该养殖户每月底可向政府领取1.2万元的补偿金,并且每
6、一个月 损失的金额(未补贴前)是上月损失金额的(补贴后)的,问接受了政府补贴后, 该养殖户第3个月损失多少元?又问:与(1)相比较,该养殖户在三个月当中总共可减 少损失多少元?解:20已知f(x)=2x+1,将f(x)的反函数y=f1(x)的图象向上平移1个单位后,再向右平移2个单位,就得到函数y=g(x)的图象。(1)写出y=g(x)的解析式; (2)若h(x),求F(x)=h(x)-g(x)的最值。解:21证明:当a1时,不等式成立。要使上述不等式成立,能否将条件“a1”适当放宽?若能,请放宽条件并简述理由;若不能,也请说明理由。 请你根据、的证明,试写出一个类似的更为一般的结论,且给予证
7、明。解:1A1A2A3A4A5B1B2B3B4BnAnAn+1234nxOy22已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、Bn(n,yn)(nN) 顺次为一次函数图象上的点, 点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、An(xn,0)(nN) 顺次为x轴正半轴上的点,其中x1=a(0a1), 对于任意nN,点An、Bn、An+1构成以 Bn为顶点的等腰三角形。求yn的通项公式,且证明yn是等差数列;试判断xn+2-xn是否为同一常数(不必证明),并求出数列xn的通项公式; 在上述等腰三角形AnBnAn+1中,是否存在直角三角形?若有,求出此时a值;若不存在, 请说明理由。解:上海市新中高级中学
8、2006-2007学年度第二学期高三数学第一次月考试卷解答一、填空(412=48) 1函数y=的定义域为 (0,10) 。 2计算:arc cos(cos)= 4p/5(或144) 。 3已知集合 A=x|x216,B=x|xa,若AB=,则实数a的取值范围是 4,+) 。 4已知a、b、c是锐角三角形ABC中角A、B、C的对边,若b=2,c=3,且ABC的面积为, 则a= 。 5(理)展开式中含有常数项,则正整数n的最小值为 3 。 (文)在等差数列an中,已知a3=2,则a1+a2+a3+a4+a5= 10 。 6(理)圆=cos-sin(0,02)的圆心的极坐标是。 (文)在条件 下,使
9、=y-2x取得最大值时的点的坐标是 (0,1) 。P1P2P3 7如图P1是一块半径为1的半圆形纸板,在P1的左下端剪去一个半径为的半圆得图形P2,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径),得图形P3、P4、Pn、。记纸板Pn的面积为Sn,则 p/3 。 8浦东新区二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇,排列次序可以任意排列,则最先和最后交流的论文不能来自同类学校的概率是 15/28 。 9已知xC,且,则= -1 。10设数列an的前n项和为Sn,令Tn=,称Tn为数列a1、a2、an的理想数。 已知a1、a2、a3、a500的理想数为2004
10、,那么数列6、a1、a2、a3、a500的理想数为 2006 。 a1a2 a3 a4a5 a6 a7 a8 a9 11在数学拓展课上,老师规定了一种运算:a*b= ,例如:1*2=1,3*2=2,则函数的值域为。12已知数列,把数列an的各项排成如右三角形形状,记A((m、n)表示第m行、第n列的项,则A(10、5)=。二、选择(44=16)13已知A=y|y=,B=y|y=,则A为( C )(A);(B);(C)0,;(D)。14若奇函数f(x)在(0,+)是增函数,又f(-3)=0,则x|0的解集为( B )(A)(-3,0)(3, +);(B)(-3,0)(0,3);(C)(-,-3)
11、(3,+);(D)(-,-3)(0,3)。NMPKQmo15如图是半径为2的圆,切直线于点P,射线PK从PN出发,绕P点按逆时钟方向旋转到PM,旋转过程中,PK交圆于点Q,设OP按逆时钟方向旋转到OQ所形成的角为x,设弓形PmQ的面积为S=f(x),那么f(x)的图形大致是( D )(A)224224224224(B)(C)(D)f(x)f(x)f(x)f(x)xxxx16定义在R上函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为, 当x 0,时,f(x)=sinx,则f()的值为( D )(A);(B)-;(C)-;(D)。三、解答题(12+12+14+14+16+18)17已
12、知. (1)化简; (2)若=,-,求; (3)求出的值域.解:(1),xkp+,kZ (5) (2),又-,2x=-或2x=x=-或x= (9) (3)由01-sin2x2的值域为,+) (12)18已知z为虚数,且|2z+15|=。求|z|;设u=(3)z,若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上,求复数z; 若z2+2为实数,且z恰好为实系数方程x2+px+q=0的两根,试写出此方程。解:(1)设z=m+ni(m、nR且n0),代入已知式,得 |(2m+15)|+2ni=|(m+10)+ni| (2m+15)2+4n2=3(m+10)2+3n24m2+60m+225+n2=3m2
13、+60m+300m2+n2=75|z|=5 (4) (2)u=(3-i)(m+ni)=(3m+n)+(3n-m)i,由题设,3m+n+3n-m=0 (6), ,或z=2-i,或z=-2+I (8) (3)=m2-n2+2mni+2m-2ni=(m2-n2+2m)+2n(m-1)iR,且n0,m=1,又m2+n2=75, ,所求方程为x2-2x+75=0 (12)192005年禽流感的爆发,给某疫区禽类养殖户带来了较大的经济损失,某养殖户原来投资共25万,第一个月损失的金额为投资额的,以后由于政府重视,积极防治,疫情趋缓,从第二个月起,每一个月的损失是上月损失的。问:(1)前三个月中,该养殖户总
14、共损失金额多少万元? (2)为了维护养殖专业户的利益,政府除了加大防治力度,扑灭疫情之外,还决定给养殖 户一定的经济补偿,该养殖户每月底可向政府领取1.2万元的补偿金,并且每一个月 损失的金额(未补贴前)是上月损失金额的(补贴后)的,问接受了政府补贴后, 该养殖户第3个月损失多少元?又问:与(1)相比较,该养殖户在三个月当中总共可减 少损失多少元? 解:(1)第一个月损失25=5万元,前3个月的损失费组成首项为5,公比q=的等比数列, S3=12.2(万元) (6) (2)第一个月损失5-1.2=3.8万元,第二个月损失3.8=1.84万元,第三个月损失 1.84-1.2=0.272万元,第三
15、个月损失了0.227万元. (10) 接受补贴后,三个月的损失共为3.8+1.84+0.272=5.912万元,比(1)比较,减少损 失为12.2-5.912=6.288万元 (14)20已知f(x)=2x+1,将f(x)的反函数y=f1(x)的图象向上平移1个单位后,再向右平移2个单位,就得到函数y=g(x)的图象。(1)写出y=g(x)的解析式; (2)若h(x),求F(x)=h(x)-g(x)的最值。解:(1)(x2) (6) (2)(x2). (8)(未写范围扣1分) 令u=464=96,当x-2=6,即x=82时,上式成立等号, umin=96 (13), (14)21证明:当a1时
16、,不等式成立。要使上述不等式成立,能否将条件“a1”适当放宽?若能,请放宽条件并简述理由;若不能,也请说明理由。 请你根据、的证明,试写出一个类似的更为一般的结论,且给予证明。解:(1)证:,a1,0, 原不等式成立 (6) (2)a-1与a5-1同号对任何a0且a1恒成立,上述不等式的条件可放宽为a0且a1 (9) (3)根据(1)(2)的证明,可推知:若a0且a1,mn0,则有(12) 证:左式-右式= (14) 若a1,则由mn0am-n0,am+n0不等式成立; 若0a1,则由mn00am-n1, 0am+n1不等式成立.(16)1A1A2A3A4A5B1B2B3B4BnAnAn+12
17、34nxOy22已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、Bn(n,yn)(nN) 顺次为一次函数图象上的点, 点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、An(xn,0)(nN) 顺次为x轴正半轴上的点,其中x1=a(0a1), 对于任意nN,点An、Bn、An+1构成以 Bn为顶点的等腰三角形。求yn的通项公式,且证明yn是等差数列;试判断xn+2-xn是否为同一常数(不必证明),并求出数列xn的通项公式; 在上述等腰三角形AnBnAn+1中,是否存在直角三角形?若有,求出此时a值;若不存在, 请说明理由。解:(1)(nN),yn+1-yn=,yn为等差数列 (4) (2)xn+1-xn=2
18、为常数 (6) x1,x3,x5,x2n-1及x2,x4,x6,,x2n都是公差为2的等差数列, x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a,x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a, xn= (10) (3)要使AnBnAn+1为直角三形,则 |AnAn+1|=2=2()xn+1-xn=2() 当n为奇数时,xn+1=n+1-a,xn=n+a-1,xn+1-xn=2(1-a). 2(1-a)=2() a=(n为奇数,0a1) (*) 取n=1,得a=,取n=3,得a=,若n5,则(*)无解; (14) 当偶数时,xn+1=n+a,xn=n-a,xn+1-xn=2a. 2a=2()a=(n为偶数,0a1) (*),取n=2,得a=, 若n4,则(*)无解. 综上可知,存在直角三形,此时a的值为、. (18)