1、高考资源网（） 您身边的高考专家5.3.2事件之间的关系与运算学 习 任 务核 心 素 养(教师独具)1了解事件间的包含关系和相等关系2理解互斥事件与对立事件的概念与关系(难点、易混点)3会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率(重点)4了解并事件与交事件的概念，会进行事件的运算.1通过互斥事件与对立事件关系的判定，培养逻辑推理的核心素养2通过互斥与对立事件的概率计算，培养数据分析与数学运算的核心素养.在掷骰子试验中，定义如下事件：C1出现1点，C2出现2点，C3出现3点，C4出现4点，C5出现5点，C6出现6点，D1出现的点数不大于1，D2出现的点数不大于3，D3出现的点数不大于5，E出现的点
2、数小于7，F出现的点数大于6，G出现的点数为偶数，H出现的点数为奇数问题：在上述事件中，(1)事件C1与事件C2的并事件是什么？(2)事件D2与G及事件C2间有什么关系？(3)事件C1与事件C2间有什么关系？(4)事件G与事件H间有什么关系？提示(1)C1C2出现1点或2点(2)D2GC2.(3)为互斥事件(4)为对立事件知识点1事件的关系与运算1事件的关系定义表示法图示包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，事件B一定发生，这时称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A)AB或(BA)相等关系如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”A
3、BAB且BA事件互斥给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥AB或(AB)事件对立给定样本空间与事件A，则由中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件2.事件的和与积定义表示法图示事件的和(并)给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)AB或(AB)事件的积(交)给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)AB或(AB)3事件的混合运算因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算(A)(B)表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生同数的
4、加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)(B)可简写为AB1同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有()AABBABCABDABA由事件的包含关系知AB2.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则()AABBABCA与B互斥DA与B互为对立事件C由互斥事件的定义知，A，B互斥知识点2概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0,1(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(AB)P(A)P(B)(4)若A与为对立事件，则P()1P(A)P(
5、A)1，P(A)0.3.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)互斥事件一定是对立事件()(2)事件A与B的并事件的概率一定大于事件A的概率()(3)若P(A)P(B)1，则事件A与B一定是对立事件()答案(1)(2)(3)4.若A与B是互斥事件，则有()AP(A)P(B)1BP(A)P(B)1CP(A)P(B)1DP(A)P(B)1DA、B可能对立，因此P(A)P(B)1 类型1互斥事件与对立事件的判定【例1】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”判断下列每组事件是
6、不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.思路探究解(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”事件
7、C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件互斥事件和对立事件有怎样的判定方法？提示(1)利用基本概念要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件所包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，明晰它们对事件结果的影响(2)利用集合观点设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A，B
8、若事件A与B互斥，则集合AB.若事件A与B对立，则集合AB且AB.1一个射手进行一次射击，有下面四个事件：事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数小于5；事件C：命中环数大于4；事件D：命中环数不大于6.则()AA与D是互斥事件BC与D是对立事件CB与D是互斥事件D以上都不对A由互斥、对立事件的定义可判断A选项正确 类型2事件的关系及运算【例2】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A3个球中有1个红球，2个白球，事件B3个球中有2个红球，1个白球，事件C3个球中至少有1个红球，事件D3个球中既有红球又有白球问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什
9、么事件？解(1)对于事件D，可能的结果为：1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故DAB(2)对于事件C，可能的结果为：1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故CAA(变条件、变设问)在本例中，设事件E3个红球，事件F3个球中至少有1个白球，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？解由事件C包括的可能结果有1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个红球三种情况，故BC，EC而事件F包括的可能结果有1个白球，2个红球或2个白球，1个红球或3个白球，所以CF1个红球2个白球，2个红球1个白球D事件运算应注意的2个问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，
10、二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用维恩图或列出全部的试验结果进行分析(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理2掷一枚骰子，设事件A出现的点数不大于3，B出现的点数为奇数，则事件A与事件B的关系是()AABBAB出现的点数为1或3C事件A与B互斥D事件A与B是对立事件B由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是1或3或5.故AB出现的点数为1或3 类型3互斥事件与对立事件的概率公式及应用1在同一试验中，对任意两个事件A、B，P(AB)P(A)P(B)一定
11、成立吗？提示不一定，只有A与B互斥时，P(AB)P(A)P(B)才成立2若P(A)P(B)1，则事件A与事件B是否一定对立？试举例说明提示A与B不一定对立例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)P(B)1，但A、B不对立【例3】在数学考试中，小明的成绩在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分79分的概率是0.15，在60分69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；(2)小明数学考试及格的概率(60分及60分以上为及格)思
12、路探究小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80分89分”“90分以上”的并事件，小明数学考试及格可看作是“60分69分”“70分79分”“80分89分”“90分以上”这几个彼此互斥事件的并事件，又可看作是“不及格”这一事件的对立事件解分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分89分”“在70分79分”在“60分69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69.(2)法一：小明数学考试及格的概率是P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.180.510.150.090.93.法二：小明数学考试不及
13、格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是10.070.93.1(变结论)本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率解分别记小明的成绩“在90分以上”“在8089分”“在7079分”“在6069分”在“60分以下”为事件A、B、C、D、E，则这五个事件彼此互斥小明成绩在80分以下的概率是：P(CDE)0.150.090.070.312(变条件、结论)一盒中装有各种色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率解法一：(利用互斥事件求概率)记事件A1任取1球为红球，A2任
14、取1球为黑球，A3任取1球为白球，A4任取1球为绿球，则P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4).根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).法二：(利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1A2的对立事件为A3A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1.(2)A1A2A3的对立事件为A4.所以P(A1
15、A2A3)1P(A4)1.1只有当A、B互斥时，公式P(AB)P(A)P(B)才成立；只有当A、B互为对立事件时，公式P(A)1P(B)才成立2复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)1P()求解1掷一枚骰子，观察结果，A向上的点数为1，B向上的点数为2，则()AABBABCA与B互斥DA与B对立C由于事件A与B不可能同时发生，故A与B互斥2某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项，已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.1，那么本次活动中，
16、中奖的概率为()A0.1B0.2C0.3D0.7B由于中一等奖，中二等奖为互斥事件，故中奖的概率为0.10.10.2.故选B3P(A)0.1，P(B)0.2，则P(AB)等于()A0.3B0.2 C0.1D不确定D因为A与B的关系不确定，故P(AB)的值不能确定4一箱灯泡有50个，合格率为90%，从中任意拿一个，它是次品的概率是()A10%B90%C20%D100%A从中任意拿一个，不是合格品就是次品，两者必有一个发生，而且也只能有一个发生，符合对立事件的定义，因此运用对立事件的概率加法公式得P(次品)1P(合格)190%10%.5同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，则5点或6
17、点至少出现一个的概率是_因为同时抛掷两枚骰子，“既不出现5点也不出现6点”和“5点或6点至少出现一个”是对立事件，所以5点或6点至少出现一个的概率是P1.回顾本节内容，自我完成以下问题：1如果两个事件相等，则这两个事件的样本点有什么关系？提示如果两个事件相等，则它们的样本点完全相同即：ABAB且BAA与B有相同的样本点2事件的互斥与对立有什么关系？提示如果A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立3判断事件间关系有什么方法？提示(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用维恩图分析，对较难判断关系的，也可列出全
18、部结果，再进行分析(教师独具)事件关系的判断与集合形式表示2019年4月23日，作为全国第三批启动高考综合改革试点的8个省市，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆23日相继发布了本省份高考综合改革实施方案，明确从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施根据公布的实施方案，8个省市将采用“312”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科学中选择两科1小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，请写出试验的样本空间，
19、并说出样本点的个数；提示试验的样本点可用(x，y，z)表示，其中从物理、历史中选择1门，结果用x表示；从思想政治、地理、化学、生物中选择2门，结果用y，z表示该试验的样本空间(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，地理)，(历史，思想政治，化学)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，化学)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)，样本点的个数为12.2小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，若记事件A为“小李物理必选”；事件B为“小李生
20、物必选”，用集合表示这两个事件，并判断事件A与事件B是不是互斥事件，是不是对立事件；提示A(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)B(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)则事件A，B中含有相同的样本点(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，所以事件A与事件B不是互斥事件，也不是对立事件3在第2小题的条件下，用集合的形式表示事件AB和事件，并说明事件AB和事件的关系提示由第2问可知，事件AB(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)事件(历史，思想政治，地理)，(历史，思想政治，化学)，(历史，地理，化学)，所以事件AB和事件既是互斥事件，也是对立事件- 11 - 版权所有高考资源网
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