1、第三课时分段函数新课程标准解读核心素养通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用数学抽象、直观想象、数学运算某市空调公共汽车的票价按下列规则判定：(1)5千米以内(含5千米)，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站问题(1)从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？(2)函数的表达式是什么？知识点分段函数1分段函数的定义如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数2分段函数的图像分段函数有几段，它的图像
2、就由几条曲线组成在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图像3常数函数值域只有一个元素的函数，通常称为常数函数分段函数应注意4点(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值
3、范围内值域的并集 函数y是分段函数吗？它是一个函数还是两个函数？提示：函数y是分段函数，它是一个函数1下列给出的式子是分段函数的是_(填序号)f(x)f(x)f(x)f(x)答案：2已知f(x)则f(2)_答案：23函数y的定义域为_，值域为_答案：(，0)(0，)2(0，)4下列图形是函数yx|x|的图像的是_(填序号)答案：分段函数的定义域、值域例1(1)已知函数f(x)，则其定义域为()ARB(0，)C(，0) D(，0)(0，)(2)函数f(x)的定义域为_值域为_解析(1)要使f(x)有意义，需x0，故定义域为(，0)(0，)(2)由已知定义域为x|0x10x|1x0x|1x1，即(
4、1，1)又0x1时，0x211，1x0时，1x210，x0时，f(x)0，故值域为(1，0)0(0，1)(1，1)答案(1)D(2)(1，1)(1，1)1分段函数定义域、值域的求法(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集2绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决 跟踪训练函数f(x)的值域是()AR B0，)C0，3 D0，23解析：选D当x0，1时，f(x)2x20，2，所以函数f(x)的值域为0，22，30，23.分段函数求值问题例2已知函数f(x)(1)求f的值；(2)若f(a)，求a的值解(1)因为f2，所以ff.(2)f(a)，
5、若|a|1，则|a1|2，得a或a.因为|a|1，所以a的值不存在；若|a|1，则，得a，符合|a|1.所以若f(a)，a的值为.分段函数问题的常见解法(1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值；(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验；(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可 跟踪训练1
6、设函数f(x)则f()A.B4C3D3解析：选A依题意知f(2)22224，则ff1.故选A.2已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值等于()A3 B1 C1 D3解析：选Af(a)f(1)0，f(a)f(1)2，当a0时，2a2，a1，舍去，当a0时，a12，a3.3函数f(x)若f(a)3，则a的取值范围是_解析：当a2时，f(a)a3，此时不等式的解集是(，3)；当2a4时，f(a)a13，此时不等式无解；当a4时，f(a)3a3，此时不等式无解故a的取值范围是(，3)答案：(，3)分段函数的图像及应用例3分别作出下列分段函数的图像，并写出定义域及值域(1)y(2)y解各函数
7、对应图像如图所示：由图像知，(1)的定义域是(0，)，值域是1，)；(2)的定义域是(，)，值域是(6，6分段函数图像的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图像；(2)作分段函数的图像时，分别作出各段的图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，作出其图像，再保留定义域内的一段图像即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏 跟踪训练1函数f(x)x的图像是()解析：选C依题意，知f(x)x所以函数f(x)的图像为选项C中的图像故选C.2设xR，则函数y2|x1|3|x|的值域为_解析：当x1时，y2(x
8、1)3xx2；当0x1时，y2(x1)3x5x2；当x0时，y2(x1)3xx2.故y根据函数解析式作出函数图像，如图所示由图像可以看出，函数的值域为(，2答案：(，21一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图像可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是()解析：选B根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A、D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.2函数y的图像的大致形状是()解析：选A因为y所以函数的图像为选项A.3若函数f(x)则函数f(x)的值域是()A2，4，5 B(2，5)C(2，4) D(4，5)解析：选A因为f(x)所以函数f(x)的值域是2，4，54已知函数f(x)则f(f(4)_解析：f(f(4)f.答案：5已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是_解析：由题图可知，f(x)的图像是由两条线段组成的当1x0时，设f(x)axb，将(1，0)，(0，1)代入解析式，得解得当0x1时，设f(x)kx，将(1，1)代入，得k1.所以f(x)的解析式为f(x)答案：f(x)7
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