1、第二课时抛物线的方程及性质的应用(习题课)与抛物线有关的轨迹问题例1设点P(x，y)(y0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：ykx1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|2，求实数k的值解(1)过点P作x轴的垂线垂足为点N，则|PN|y，由题意知|PM|PN|， y，化简得x22y.故点P的轨迹方程为x22y.(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得x22kx20，x1x22k，x1x22.|AB|2，k43k240，又k20，k21，k1.求与抛物线有关的轨迹的
2、方法及步骤(1)方法：直接法、定义法、代入法(相关点法)及参数法；(2)步骤：建系建立适当的坐标系；设点设轨迹上的任一点P(x，y)；列式列出动点P所满足的关系式；代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 跟踪训练1若动点P与定点F(1，1)和直线l：3xy40的距离相等，则动点P的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线 D直线解析：选D法一：设动点P的坐标为(x，y)则.整理，得x29y24x12y6xy40，即(x3y2)20，x3y20.所以动点P的轨迹为直线法二：显然定点F(1，1)在直线l：3xy40上，则与定
3、点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线2若动圆M与圆C：(x2)2y21外切，又与直线x10相切，求动圆圆心的轨迹方程解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r1.因为两圆外切，所以|MC|R1.又动圆M与已知直线x10相切，所以圆心M到直线x10的距离dR.所以|MC|d1.即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x20的距离由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x20为准线的抛物线，且2，p4，故其方程为y28x.与抛物线有关的定点(定值)问题角度一定点问题例2已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(1，0)
4、，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过定点解(1)因为抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1，0)，所以1，所以p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，设A，B，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，化简得t232.所以A(8，t)，B(8，t)，此时直线AB的方程为x8.当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykxb(k0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程消去x化简得ky24y4b0.根据根与系数的关系得yAyB，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，即xAxB2
5、yAyB0，即2yAyB0，解得yAyB0(舍去)或yAyB32，所以yAyB32，即b8k，所以ykx8k，即yk(x8)，综上所述，直线AB过x轴上一定点(8，0)求与抛物线有关的定点问题的步骤 角度二定值问题例3已知抛物线C：y22px(p0)，过点(2，0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，且2.(1)求抛物线C的方程；(2)点M坐标为(2，0)，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：为定值解(1)设l的方程为xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得my20.所以y1y22pm，y1y24p.所以x1x2y1y2y1y244p2，所以p，所以抛物线C的方
6、程为y2x.(2)证明：因为M坐标为(2，0)，所以，由(1)可得y1y2m，y1y22，所以0为定值求与抛物线有关的定值问题的步骤 跟踪训练1已知抛物线y28x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OAOB，求证：直线AB经过一个定点证明：设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，直线OA的方程为ykx，由得A，同理可得B(8k2，8k)，于是直线AB的方程为y8k(x8k2)，整理可得y(x8)，因此直线AB经过定点(8，0)2.如图，已知抛物线y24x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.(1)求y1y2的
7、值；(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值解：(1)依题意，设AB的方程为xmy2，代入y24x，得y24my80，从而y1y28.(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，设直线AM的方程为xny1，代入y24x，消去x得y24ny40，所以y1y34，同理y2y44，由(1)知y1y28，所以2为定值.与抛物线有关的最值(范围)问题角度一最值问题例4如图，已知直线l：y2x4交抛物线y24x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使PAB的面积最大，并求出这个最大面积解由解得或由题图可知，A(4，4)，B(1，2)，则|AB|3.设P(
8、x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则d|(y01)29|.2y04，(y01)294，DAB的面积S的取值范围为(4，)答案(4，)解决抛物线中的范围问题应考虑的五个方面(1)利用抛物线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围 跟踪训练1设直线l与抛物
9、线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A(1，3) B(1，4)C(2，3) D(2，4)解析：选D当直线l的斜率不存在时，这样的直线l恰有2条，即x5r，所以0r2，又y4x0，即r2412，所以0r4，又0r2，所以2r0.SAOB2a16，解得a4，AOB为等腰直角三角形，AOB90.2已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且0，延长MP到点N，使得|，则点N的轨迹方程是_解析：由于|，则P为MN的中点设N(x，y)，则M(x，0)，P，由0，得0，所以(x)10，则y24x
10、，即点N的轨迹方程是y24x.答案：y24x3已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F(1，0)的距离小1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设斜率为1且不过点M(1，2)的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k20.解：(1)依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为F(1，0)，准线为x1，设其方程为y22px(p0)，则1，解得p2，所以动点P的轨迹C的方程是y24x(x0)(2)证明：设直线AB：yxb(b3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得yb，即y24y4b0，1616b0，所以b1，y1y24，因为x1，x2，所以k1k20.因此k1k20.
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