1、13.2空间向量运算的坐标表示新课程标准解读核心素养1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示数学运算、直观想象2.掌握空间向量的数量积的坐标表示数学运算、逻辑推理在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为.问题若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道F1，F2，F3的大小分别是多少吗？知识点一空间向量的坐标运算1空间向量的坐标一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标2设a(a1，
2、a2，a3)，b(b1，b2，b3)则有向量运算坐标表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)(R)数量积aba1b1a2b2a3b3空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？提示：空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致1已知(2，3，1)，(4，5，3)，那么向量()A(2，2，2)B(2，2，2)C(6，8，4) D(8，15，3)解析：选B向量(4，5，3)(2，3，1)(2，2，2)，故选B.2已知向量a(3，5，1)，b(2，2，3)，c(1，1，2)，则向量ab4c的坐标为()A(5，1，4)
3、 B(5，1，4)C(5，1，4) D(5，1，4)解析：选A向量a(3，5，1)，b(2，2，3)，c(1，1，2)，则向量ab4c(3，5，1)(2，2，3)4(1，1，2)(5，1，4)故选A.3已知a(3，2，5)，b(1，x，1)，且ab2，则x的值是()A3 B4C5 D6解析：选C因为a(3，2，5)，b(1，x，1)，所以ab32x52，解得x5.故选C.知识点二空间向量的相关结论1空间向量的平行、垂直及模和夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则有名称满足条件向量表示形式坐标表示形式abab(b0)a1b1，a2b2，a3b3(R)abab0a1b1a2b2a
4、3b30模|a|a|夹角cosa，bcosa，b2.空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)(1)(x2x1，y2y1，z2z1)；(2)P1P2|.若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，ab，则一定有成立吗？提示：当b1，b2，b3均不为0时，成立1已知向量a(2，x，2)，b(2，1，2)，c(4，2，1)，若a(bc)，则x的值为()A2 B2C3 D3解析：选Abc(2，3，1)，a(bc)43x20，x2.2已知A(1，1，1)，B(3，3，3)，则线段AB的长为()A4 B2C4 D3解析：选AAB4.3已知P1(1，
5、1，2)，P2(3，1，0)，P3(0，1，3)，则向量与的夹角是()A30 B45C60 D90解析：选D设向量与的夹角为，因为(3，1，0)(1，1，2)(2，2，2)，(0，1，3)(1，1，2)(1，2，1)，所以cos 0.因为0180，所以90.故选D.空间向量的坐标运算例1(1)已知a(1，2，1)，b(2，0，1)，则(2a3b)(ab)_；(2)若2ab(2，4，3)，a2b(1，3，1)，则cosa，b_解析(1)易得2a3b(4，4，5)，ab(3，2，0)，则(2a3b)(ab)4(3)42504.(2)设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，由题设可得解得同
6、理可得y11，y22，z11，z21，即a(1，1，1)，b(0，2，1)，则ab0213，|a|，|b|，所以cosa，b.答案(1)4(2)关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；(2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标 跟踪训练1已知A(1，2，0)和向量a(3，4，12)，且2a，则点B的坐标为()A(7，10，24)B(7，10，24)C(6，8，24) D(5，6，24)解析：选Da(3，4，12)，且2a，(6，8，24)A的坐标为(1，2，0)，(
7、1，2，0)，(61，82，240)(5，6，24)，点B的坐标为(5，6，24)故选D.2已知a(1，1，0)，b(0，1，1)，则a(2b)_，(ab)(2a3b)_解析：a(2b)2ab2(010)2，ab(1，0，1)，2a3b2(1，1，0)3(0，1，1)(2，1，3)(ab)(2a3b)(1，0，1)(2，1，3)235.答案：25利用空间向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题例2(链接教科书第20页例2)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.证明(1)如图，建立空间直角坐标系
8、，设ACBDN，连接NE，则点N，E的坐标分别为，(0，0，1)，又点A，M的坐标分别是(，0)，.又NE与AM不共线，NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)知.D(，0，0)，F(，1)，(0，1)，0，即AMDF.同理，即AMBF.又DFBFF，且DF平面BDF，BF平面BDF，AM平面BDF.1判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解2利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂
9、直的充要条件证明 跟踪训练1已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)设向量c，试判断2ab与c是否平行？(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.解：(1)因为a(1，1，0)，b(1，0，2)，所以2ab(3，2，2)，又c，所以2ab2c，所以(2ab)c.(2)因为a(1，1，0)，b(1，0，2)，所以kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)又因为(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0，即(k1，k，2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或k.2如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC
10、，AB，CEEF1.求证：(1)AF平面BDE；(2)CF平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G，连接EG.因为EFAC，且EF1，AGAC1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AFEG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0，0，0)，A(，0)，B(0，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，F.所以，(0，1)，(，0，1)所以0110，1010，所以，即CFBE，CFDE.又BEDEE，且BE平面BDE，DE平面B
11、DE，所以CF平面BDE.利用坐标运算解决夹角、距离问题例3(链接教科书第20页例3)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N为A1A的中点(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值解以，所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，|，线段BN的长为.(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，10(1)1223.又|，|，cos，.故A1B与B1C所成角的余弦值为.1利用向量数量积的坐标公式求异面直线
12、所成角的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角2利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长 跟踪训练1已知A(2，5，1)，B(2，2，4)，C(1，4，1)，则与的夹角为()A30B45C60 D90解析：选C设与的夹角为.由题意得(1，1，0)，(0，3，3)，cos ，60，故选C.2如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF
13、所在的平面互相垂直，O是BE的中点，则线段OM的长为()A3 B.C2 D.解析：选B由题意可建立以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系(图略)，则E(0，0，6)，B(6，6，0)，M(6，0，4)，O(3，3，3)，所以|，即线段OM的长为，故选B.向量概念的推广我们已经知道：(1)直线l以及这条直线上一个单位向量e，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得axe，此时称x为向量a在直线l上的坐标，直线上的向量又称为一维向量，用该坐标x即可以表示a的方向，又可以求得|a|；(2)平面向量a可以用二元有序实数对(x，y)表示，即a(x，
14、y)(x，y)称为平面向量a的坐标，此时的向量又称为二维向量，用该坐标可以表示a的方向，也可求|a|；(3)空间向量a可以用三元有序实数组(x，y，z)表示，即a(x，y，z)(x，y，z)称为空间向量a的坐标，此时的向量a称为三维向量，用该向量的坐标可以表示a的方向，也可求|a|.问题探究向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？结论：用n元有序实数组(a1，a2，an)表示n维向量，它构成了n维向量空间，a(a1，a2，an )对于n维向量空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算设a
15、(a1，a2，an)，b(b1，b2，bn)，则ab(a1b1，a2b2，anbn)；a(a1，a2，an)(a1，a2，an)，R；ab(a1，a2，an)(b1，b2，bn)a1b1a2b2anbn；|a|.n维向量空间中A(a1，a2，an)，B(b1，b2，bn)两点间的“距离”|AB|.迁移应用某班共有30位同学，则高一期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量表示，即ai(ai1，ai2，ai3，ai4，ai5)(i1，2，30)，其中aij表示成绩，i不同表示不同的同学，j不同表示不同的课程，如何用简单明了的数学表达式表示该班五门课程各自的平均成绩解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标分别加起来，然后再乘以，即 1已知ab(2，2)，ab(0，0)，则cosa，b()A.B.C. D.解析：选C由已知得a(1，)，b(1，0，)，cosa，b.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E，F，G分别是CC1，A1C1，CD的中点证明：AB1GE，AB1EF.证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，由中点坐标公式得E，G，F.(1，0，1)，2，1010，.故AB1GE，AB1EF.
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