新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修二练习：4-4 数学归纳法 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。十一数学归纳法(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1对于不等式n1(nN*)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则nk1时，12k1.又1n2 Bn3时，2nn2Cn4时，2nn2 Dn5时，2nn2【解析】选D.当n1时，2112，即2nn2；当n2时，2222，即2nn2；当n3时，2332，即2n52，即2nn2；当n6时，2662，即2nn2；猜想当n5时，2nn2；下面我们用数学

2、归纳法证明猜想成立，(1)当n5时，由以上可知猜想成立，(2)设nk(k5)时，命题成立，即2kk2，当nk1时，2k122k2k2k2k2k2(2k1)(k1)2，即nk1时，命题成立，由(1)和(2)可得n5时，2nn2；故当n2或4时，2nn2；n3时，2nn2.4已知f(n)(2n7)3n9，存在自然数m，使得对任意nN*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A30 B26 C36 D6【解析】选C.因为f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除证明：当n1，2时，由上得证，设当nk(k2)时

3、，f(k)(2k7)3k9能被36整除，则当nk1时，f(k1)f(k)(2k9)3k1(2k7)3k(6k27)3k(2k7)3k(4k20)3k36(k5)3k2(k2)f(k1)能被36整除因为f(1)不能被大于36的数整除，所以所求的最大的m的值等于36.二、填空题(每小题5分，共20分)5用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题为真. 【解析】因为n为正奇数，所以奇数2k1之后的奇数是2k1.答案：2k16观察下列等式：11234934567254567891049按照以上式子的规律：则第5个等式为_，猜

4、想第n个等式_；【解析】(1)第5个等式为567891011121392.第n个等式为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2，nN*.证明：当n1时，等式左边1，等式右边(21)21，所以等式成立假设nk时，命题成立，即k(k1)(k2)(3k2)(2k1)2，则当nk1时，(k1)(k1)1(k1)23(k1)2(k1)(k2)(k3)(3k1)k(k1)(k2)(3k2)(3k1)3k(3k1)k(2k1)28k4k24k18k(2k1)22(k1)12，即nk1时等式成立根据和，可知对任意nN*等式都成立答案：567891011121392n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2，nN

5、*7在用数学归纳法证明“34n252n1(nN*)能被14整除”的过程中，当nk1时，式子34(k1)252(k1)1应变形为_. 答案：(34k252k1)3452k1(5234)8用数学归纳法证明“n35n能被6整除”的过程中，当nk1时，式子(k1)35(k1)应变形为_. 【解析】采取凑配法，凑出归纳假设k35k来，(k1)35(k1)k33k23k15k5(k35k)3k(k1)6.答案：(k35k)3k(k1)6三、解答题(每小题10分，共20分)9求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN*.【证明】(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立(2)假设当nk

6、(kN*，k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2a1整除，故nk1时命题成立由(1)(2)知，对任意nN*，命题成立10数列满足Sn2nan(nN*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想【解析】(1)a11，a2，a3，a4，由此猜想an；(2)当n1时，a11，结论成立；假设nk(k1，且kN)，结论成立，即ak，当nk1(k1，且kN)时，ak1Sk1Sk2ak12kak2akak1，即2ak12ak，所以ak1，这表明当nk1时，结论成立，综上所述，an.关闭Word文档返回原板块