1、上海市徐汇区2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一填空题1.已知直线的一个方向向量是，则它的斜率为_.【答案】2【解析】【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系求斜率即可.【详解】直线的一个方向向量是，则直线的斜率为：故答案为：2【点睛】本题考查直线方向向量以及直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题.2.抛物线的准线方程为_【答案】【解析】【分析】本题利用抛物线标准方程得出抛物线的准线方程【详解】由抛物线方程可知，抛物线的准线方程为：故答案为【点睛】本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题3.直线与直线的夹角为_.【答案】
2、【解析】【分析】先利用斜率之积为，判定两直线垂直，即可得解.【详解】由直线与直线的方程可知，两直线的斜率分别为：，,两直线的夹角为.故答案为：.【点睛】本题考查两直线的夹角的求法，关键根据两直线的方程求得斜率，根据斜率是否乘积为，从而判定两直线是否垂直是关键点.4.已知长方体的、的长分为345，则点到棱的距离为_.【答案】5【解析】分析】由长方体的性质可得，所以面，面，所以，可得是点到棱的垂线段，由勾股定理可求得答案.【详解】由长方体的性质可得，所以面，面，所以，所以是点到棱的垂线段，又，所以.故答案为：5. 【点睛】本题考查点到线段的距离，关键在于运用长方体的性质找到点到线段的垂线段，属于基
3、础题.5.若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】线段的最小值，就是原点到已知直线的距离，根据点到直线的距离公式即可得出【详解】解：原点到直线的距离，故的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、转化方法，属于基础题6.如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为_【答案】【解析】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点， 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 因为的坐标为，所以, 所以. 7.过点作圆的切线方程是_【答案】【解析】因为点在圆上，所以切点为，切线斜率 所以由点斜式写
4、方程得 即故答案为8.已知，则的最大值是_.【答案】【解析】【分析】由可得，利用不等式的性质可求得的最大值.【详解】由可得，且，则.当且仅当时，等号成立，因此，的最大值是.故答案为：.【点睛】本题考查利用不等式的基本性质求最值，考查计算能力，属于基础题.9.如图，已知三棱柱的体积为4，则四面体的体积为_.【答案】【解析】【分析】利用等底同高的棱锥体积相等，可以证明三棱柱被分割成的三个部分体积相等，进而求得答案.【详解】,，又棱柱的体积为4，四面体的体积为，故答案为：.【点睛】本题考查棱锥的体积，关键在于等体积转化，属基础题.10.已知双曲线的焦点坐标为，则的值为_.【答案】【解析】【分析】利用
5、双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可【详解】解：双曲线的焦点坐标为，可得，解得故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题11.从（且）个男生、个女生中任选个人当发言人，假设事件表示选出的个人性别相同，事件表示选出的个人性别不同如果的概率和的概率相等，则_【答案】10【解析】【分析】从个男生、个女生中任选个人当发言人,共有种情况，事件表示选出个人性别相同，共有情况，事件表示选出的个人性别不同，共有情况，由已知可得：，即，解之即可.【详解】从个男生、个女生中任选个人当发言人,共有种情况，事件表示选出的个人性别相同，共有情况，事件表示选出的个人性别不同，情况，即整理，得：，即且，故答
6、案为：10【点睛】本题考查了概率计算和组合数及其计算，考查了计算能力和分析能力，属于中档题.12.如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为_公里.【答案】18【解析】【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果.【详解】如图，展开圆锥的侧面，过点作的垂线，垂足为，记点为上任意一点，联结，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的，上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离
7、越来越大，下坡段的铁路，即图中的，由，得.故答案为：18【点睛】本题考查圆锥侧面展开图、解三角形，考查等价转化思想方法以及基本分析求解能力，属基础题.二选择题13.在正方体中，和所成角的大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的判定与性质进行转化，得到为异面直线和所成角，进而在三角形中求解.【详解】如图所示，连接，,四边形为平行四边形，为异面直线和所成角（或其补角），由于是等边三角形，故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成的角的求法，涉及正方体的性质，属基础题. 关键在于利用平行四边形的判定与性质进行转化，得到异面直线所成的角，进而在相应三角形中求解.14.
8、已知是定点，.若动点满足，则动点的轨迹是（ ）A. 直线B. 线段C. 圆D. 椭圆【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义即可得解；【详解】解：对于在平面内，若动点到、两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点、的距离，则动点的轨迹是以，为端点的线段故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，属于基础题15.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】如图所示建立坐标系，计算面积得到答案.【详解】如图所示建立坐标系，根据题意：图2中为直角梯形，.故.故选：.【点睛】本题
9、考查了斜二测画法求面积，意在考查学生的计算能力.16.如图，点是曲线上的任意一点，射线交曲线于点，垂直于直线，垂足为点.则下列判断：为定值；为定值5.其中正确的说法是（ ）A. 都正确B. 都错误C. 正确，错误D. 都错误，正确【答案】A【解析】【分析】曲线方程整理可得是双曲线的一部分，可以判定正好是双曲线的两个焦点，然后利用双曲线的定义可以得到结论，利用抛物线的定义将转化为到抛物线准线的距离，可以判定正确.【详解】曲线两边平方，得，为双曲线的的部分，恰为该双曲线的两焦点，由双曲线定义，知，又，正确；曲线即抛物线，其焦点为，准线方程为，由抛物线定义，知，正确；故选：A.【点睛】本题考查双曲线
10、与抛物线的定义，方程，属中档题，关键是利用双曲线和抛物线的定义进行转化求解.三解答题17.已知关于的一元二次方程的两根为.（1）若为虚数，求的取值范围；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）的值为或0.【解析】分析】（1）依题意知，即可求出参数的取值范围；（2）分与两种情况讨论，利用韦达定理计算可得；【详解】解：（1）依题意可得，解得；（2）因为所以，时，解得；时，解得；综上，的值为或0.【点睛】本题考查一元二次方程的根的问题，韦达定理的应用，属于基础题.18.己知的二项展开式中二项式系数之和为256.（1）求的值；（2）求该展开式中项的系数.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根
11、据题意，由二项式定理可得，解可得，（2）先求得展开式的通项，可得，将的值代入通项计算可得答案；【详解】解：（1），解得；（2），令可得时，即项的系数为【点睛】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题19.如图，己知正方体的棱长为1.（1）求证：；（2）求与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，易知，再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；（2）设与相交于点，连接，由（1）可知，面，可推出面面，即点在面上的投影落在上，于是即为所求，然后在中，利用余弦定理求出即可得解【详解】解：（1）连接，由正方体的性质可知，面，因为面，所以，
12、又因为正方形，所以，而、面，且，所以面因为面，所以（2）设与相交于点，连接，则为的中点，由（1）可知，面，因为面，所以面面，即点在面上的投影落在上，所以即为与平面所成的角在中，所以，故与平面所成角的大小为【点睛】本题考查空间中线面的位置关系、线面夹角问题，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用线面角的定义找出线面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题20.高二A班计划在学校即将举办的夏季游园会上为同学们提供单球冰激凌的销售服务.已知购买一圆柱形桶装冰激凌需要1300元，此桶装冰激凌桶内底面直径为25厘米，冰激凌净高20厘米.单球冰激凌的平均直径约为5厘
13、米，一副一次性杯勺的成本约1元(其他成本忽略不计).根据前期调查，冰激凌球能全部售完.高二A班打算将每个单球冰激凌定价为15元，你认为这样的定价是否合理？请作出必要的计算，结合计算结果阐述你的理由.【答案】合理，理由见解析【解析】【分析】根据条件先求圆柱和单球冰激凌的体积，再计算每个单球冰激凌的成本，最后比较.【详解】，每个单球冰激凌的成本价为(元)，定价为15元，利润率约为55%，较为合理.【点睛】本题考查几何体的实际应用问题，重点考查读题能力，抽象概括能力，属于基础题型.21.已知：椭圆的焦距为2，且经过点，是椭圆上异于的两个动点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求证：直线过定点，并求出该定
14、点坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，定点坐标：.【解析】【分析】（1）通过椭圆的焦距为2，求出结合椭圆经过点，列出方程组求解，得到椭圆方程（2）设，、，直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，利用韦达定理推出，的关系式，利用向量的数量积推出，得到直线系，然后求解直线经过的定点；直线的斜率不存在时，设直线的方程为，判断直线经过的定点即可【详解】解：（1）因为椭圆的焦距为2，且经过点所以解得所以；（2）设，直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，(*)且，即，化简得，将(*)式代入，得，即或(舍，此时直线过点)直线的方程为，过定点；直线的斜率不存在时，设直线的方程为，可设，且，由，即，解得或(舍)，此时直线的方程为，也过定点；综上，直线过定点.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于难题