1、2.6 对数函数第一章集合与常用逻辑用语第二章函数的概念、基本初等函数()及函数的应用1对数(1)对数：如果 axN(a0，且 a1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的_，记作 x_.其中 a 叫做对数的_，N 叫做_(2)两类重要的对数 常用对数：以_为底的对数叫做常用对数，并把 log10N 记作_；自然对数：以_为底的对数称为自然对数，并把 logeN 记作_注：(i)无理数 e2.718 28；(ii)负数和零没有对数；(iii)loga1_，logaa_.(3)对数与指数之间的关系 当 a0，a1 时，axN_xlogaN.(4)对数运算的性质 如果 a0，且 a1，M0，N0，那
2、么：loga(MN)_；logaMN_；logaMn_；一般地，logamMn_；(5)换底公式及对数恒等式 对数恒等式：Naalog_；换底公式：logab_(a0 且 a1；c0 且c1；b0)特别地，logab_.2对数函数的图象及性质定义一般地，函数 ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数图象a10a1定义域_值域_性质过定点_在(0，)上是_在(0，)上是_3对数函数与指数函数的关系对数函数 ylogax(a0，且 a1)与指数函数 yax(a0 且 a1)互为反函数；它们的图象关于直线_对称自查自纠1(1)对数 logaN 底数 真数(2)10 lgN e lnN(iii)0
3、1(3)(4)logaMlogaN logaMlogaN nlogaM nmlogaM(5)N logcblogca 1logba2(0，)R(1，0)增函数 减函数3yx 1.设 2a5bm，且1a1b2，则 m()A.10 B.10 C.20 D.100 解：由已知，得 alog2m，blog5m，则1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm102，解得 m 10.故选 A.2.(2019 天津卷)已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则 a，b，c 的大小关系为()A.acbB.abc C.bcaD.cab解：因为 alog52log0.50.252
4、，0.51c0.50.20.501，即12c1，所以 acb.故选 A.3.(2019 北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 m2m152lgE1E2，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek(k1，2).已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1 C.lg10.1D.1010.1 解：1.45(26.7)25.25，25.252510.1，所以E1E21010.1.故选 A.4.(2018全国卷)已知函数 f(x)ln(1x2x)1，f(a)4，则 f(a)_.解：由题意得 f(x)f
5、(x)ln(1x2x)1ln(1x2x)1ln(1x2x2)22，所以 f(a)f(a)2，f(a)2.故填2.5.(2018禅城月考)已知函数 f(x)|lgx|，若 0ab，且 f(a)f(b)，则 2ab 的取值范围是_.解：画出 y|lgx|的图象如图因为 0ab，且 f(a)f(b)，所以|lga|lgb|且 0a1，所以lgalgb，所以 ab1，所以 2ab2 2ab2 2，当且仅当2ab，ab1，即 a 22，b 2时等号成立故填2 2，)类型一 对数的化简与求值 例 1(1)求值：lg8lg125lg2lg5lg 10lg0.1_.解：lg8lg125lg2lg5lg 10l
6、g0.1lg1000lg1012lg10（lg10）4.故填4.(2)已知 lgxlgy2lg()2x3y，则 log32xy_.解：因为 lgxlgy2lg(2x3y)，所以x0，y0，2x3y0，xy（2x3y）2，所以xy94或xy1(舍去)，log32xylog32942.故填 2.(3)若 loga2m，loga3n，则 a2mn_，用 m，n 表示 log46 为_.解：因为 loga2m，loga3n，所以 am2，an3，a2mn(am)2an22312，log46loga6loga4loga2loga32loga2mn2m.故填 12；mn2m.评析 对数式的化简、求值问题，
7、要注意对数运算性质的逆向运用，但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同.变式 1(1)lg5223lg8lg5lg20(lg2)2 的值为_.解：原式2lg52lg2lg5(1lg2)lg222(lg5lg2)lg5lg2(lg2lg5)2lg5lg23.故填 3.(2)已知 ab1，若 logablogba52，abba，则 a_，b_.解：设 logbat，则 t1，由1tt52t2ab2，由abbab2bbb22bb2b2，a4.故填 4；2.(3)(山东滨州 2019 届高三二模)若函数 f(x)x2(a2)x1(xR)为偶函数，则 loga27log1a87_.解：函数 f(
8、x)为偶函数，则 f(x)f(x)，即 x2(a2)x1x2(a2)x1 恒成立，所以 a20，a2.则 loga27log1a87log227log278log22778 log2142.故填2.类型二 对数函数的图象及应用例 2(1)若函数 ya|x|(a0，且 a1)的值域为y|y1，则函数 yloga|x|的图象大致是()A B C D解：由于 ya|x|的值域为y|y1，所以 a1，则 ylogax 在(0，)上是增函数，又函数 yloga|x|的图象关于 y 轴对称因此 yloga|x|的图象应大致为选项 B.故选 B.(2)函数 yloga(x3)1(a0，且 a1)的图象恒过定
9、点 A，若点 A 在直线 mxny20 上，其中 m0，n0，则2m1n的最小值为()A.2 2B.4C.52D.92解：由函数 yloga(x3)1(a0，且 a1)的解析式知：当x2 时，y1，所以点 A 的坐标为(2，1)，又因为点 A在直线 mxny20 上，所以2mn20，即 2mn2，又 m0，n0，所以2m1n2mnm2mn2n2nmmn1252292，当且仅当 mn23时等号成立，所以2m1n的最小值为92.故选 D.(3)已知函数 f(x)log2x，x0，3x，x0，且关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是_.解：如图，在同一坐标系中分
10、别作出 yf(x)与 yxa 的图象，其中 a 表示直线在 y 轴上截距由图可知，当 a1 时，直线 yxa与 ylog2x 只有一个交点故填(1，)评析 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，数形结合求解.变式 2(1)(2019 浙江卷)在同一直角坐标系中，函数 y1ax，yloga(x12)(a0，且 a1)的图象可能是()AB C D解：y1ax(1a)x，选项 A，B，D 所示为该函数在1a1，即 0a1 的图象，此时 yloga(x12)单调递减，
11、且是将 ylogax 的图象向左平移12个单位得到的，仅选项 D 符合选项 C 所示为 01a1，即 a1 的情形，但 yloga(x12)的图象应是将 ylogax 的图象向左平移得到，所以错误故选D.(2)已知 0m12m2，a0，且 a1，若 logam1m11，logam2m21，则实数 a 的取值范围是()A.(2，3)B.(0，1)C.(1，2)D.(3，4)解：依题意，知方程式 logaxx1 有两个不等实根 m1，m2，在同一直角坐标系下，作出函数 ylogax 与 yx1 的图象，显然 a1，由图可知 m11，要使 m22，需满足 loga221，即 a2.综上知：实数 a
12、的取值范围是 1a2.故选 C.(3)当 0 x12时，4x1时 4x0，logax00 x12，不满足条件，当 0a1 时，画出两个函数在0，12 上的图象，可知 f 12g 12，即 2 22，所以 a 的取值范围为22，1.故选 B.类型三 对数函数的性质及应用例 3(1)已知 alog25，blog5(log25)，c 120.52，则 a，b，c的大小关系为()A.abcB.bcaC.cbaD.bac解：alog252，blog5(log25)(0，1)，c 120.52(1，2)，可得 bca.故选 B.(2)若 loga(a21)loga2a0 且 a1，故必有 a212a，又
13、loga(a21)loga2a0，所以 0a1，所以 a12.综上，a12，1.故选 C.(3)函数 f(x)log2 xlog 2(2x)的最小值为_.解：f(x)12log2x2(log2x1)(log2x)2log2xlog2x12214(x0)，所以当 log2x12，即 x 22 时，f(x)取得最小值14.故填14.评析 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，同时注意真数必须为正.变式 3(1)(2018全国卷)设 alog0.20.3，blog20.3，则()A.abab
14、0B.abab0 C.ab0abD.ab0ab解：因为 alog0.20.3，blog20.3，所以1alog0.30.2，1blog0.32，1a1blog0.30.4，所以 01a1b1，即 0abab 0，b0，所以 ab0，即 abab0，log2alog2a或alog2（a），解得 a1 或1a0.故选 C.(3)设 a，b，c 均为正数，且 2alog12a，12blog12b，12clog2c，则()A.abcB.cba C.cabD.bac解：因为 a0，所以 2a1，所以 log12a1，所以 0a12.又因为 b0，所以 0 12b1，所以 0log12b1，所以12b1.
15、又因为 12c0，所以 log2c0，所以 c1，所以 0a12b1c.故选 A.类型四 对数函数的综合问题例 4 已知函数 f(x)log12(x22ax3).(1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)的值域为 R，求实数 a 的取值范围；(3)若函数 f(x)在1，)内有意义，求实数 a 的取值范围；(4)若函数 f(x)的值域为(，1，求实数 a 的值.解：(1)由 f(x)的定义域为 R，知 x22ax30 的解集为 R，则 4a2120，解得 3a 3.所以 a 的取值范围为(3，3)(2)函数 f(x)的值域为 R 等价于 ux22ax3 取(
16、0，)上的一切值，所以只要 umin3a20a 3或 a 3.所以实数 a 的取值范围是(，3 3，)(3)由 f(x)在1，)内有意义，知 u(x)x22ax30 对 x1，)恒成立，因为 yu(x)图象的对称轴为 xa，所以当 a1 时，u(x)minu(1)0，即a1，2a40，解得2a1；当 a1 时，u(x)minu(a)3a20，即 3a 3，所以1a 3.综上可知，a 的取值范围为(2，3)(4)因为 yf(x)1，所以 u(x)x22ax3 的值域为2，)，又 u(x)(xa)23a23a2，则有 u(x)min3a22，解得 a1.评析 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的
17、函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1 的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、化归与转化思想的使用.变式 4(1)若 f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上单调递减，则 a 的取值范围为_.解：令函数 g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为 xa，要使函数 f(x)在(，1上单调递减，则有g（1）0，a1，即2a0，a1，解得 1a2，即 a1，2)故填1，2)(2)若函数 f(x)12x3，x2，logax，x2(a0 且 a1)的值域
18、是2，)，则实数 a 的取值范围是_.解：当 x2 时，f(x)12232，即函数的值域为2，)；当x2且a1时，f(x)loga2，即函数的值域为(loga2，)，由(loga2，)2，)，得 loga22，解得 12 且 0a1时，f(x)1，g(x)|xk|x1|，若对任意的 x1，x2R，都有 f(x1)g(x2)成立，则实数 k 的取值范围为_.解：对任意的 x1，x2R，都有 f(x1)g(x2)成立，即 f(x)maxg(x)min，由yf(x)的图象(如图)可知，当 x12时，f(x)取最大值，且 f(x)max14；因为 g(x)|xk|x1|xk(x1)|k1|，所以 g(
19、x)min|k1|，所以|k1|14，解得 k34或 k54.故填，34 54，.例 5 已知函数 f(x)loga(3ax)(a0 且 a1).(1)当 x0，2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由.解：(1)设 t(x)3ax，则 t(x)是关于 x 的一次函数，从而t（0）0，t（2）0，所以 a0 且 a1，所以 a(0，1)1，32.(2)t(x)3ax，因为 a0，所以函数 t(x)为减函数 因为 f(x)在区间1，2上为减函数
20、，所以 ylogat 为增函数，所以 a1，x1，2时，t(x)最小值为 32a，f(x)最大值为 f(1)loga(3a)，所以32a0，loga（3a）1，即a32，a32.故不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为 1.评析 确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.变式 5(2018安徽蚌埠月考)已知函
21、数 f(x)log4(4x1)2kx(kR)是偶函数.(1)求 k 的值；(2)若方程 f(x)m 有解，求实数 m 的取值范围.解：(1)由函数 f(x)是偶函数，可知 f(x)f(x)，所以 log4(4x1)2kxlog4(4x1)2kx，即 log44x14x14kx，所以 log44x4kx，所以 x4kx，即(14k)x0 对一切 xR 恒成立，所以 k14.(2)由 mf(x)log4(4x1)12xlog44x12x log42x12x，因为 2x12x2，当且仅当 x0 时等号成立，所以 mlog4212.故要使方程 f(x)m 有解，实数 m 的取值范围为12，.1.熟练掌握指数式与对数式的互化，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径.2.比较两个对数的大小的基本方法(1)若底数为同一常数，则由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对这一字母进行分类讨论.(2)若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较.(3)若底数与真数都不同，则常借助 1，0 等中间量进行比较.3.作对数函数 ylogax(a0，且 a1)的图象应抓住三个点1a，1，(1，0)，(a，1).
