1、2017-2018 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学 2018.4一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1已知全集RU，集合0322xxxA，则ACU .2在61xx的二项展开式中，常数项是 .3函数()lg(32)xxf x 的定义域为_4已知抛物线2xay的准线方程是14y ，则a.5若一个球的体积为 323，则该球的表面积为_6已知实数 xy，满足001xyxy，则目标函数 zxy的最小值为_7函数2sincos1()11xxf x的最小正周期是_8若一圆锥的底面半径为3，
2、体积是12，则该圆锥的侧面积等于 .9将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n，向量2,2amn，向量1,1b，则向量ab的概率是.10已知直线 12:0,:20lmxylxmym.当 m 在实数范围内变化时，1l 与 2l 的交点 P 恒在一个定圆上，则定圆方程是.11 若 函 数222(1)sin()1xxf xx的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 M、m，则 函 数()sin1g xMm xMm x 图像的一个对称中心是12 已 知 向 量,a b 的 夹 角 为 锐 角，且 满 足8|15a、4|15b，若 对 任 意 的(,)(,)
3、|1,0 x yx yxaybxy，都 有|1xy成 立，则 a b的 最 小 值为.NMD1C1B1A1DCBA二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13在四边形 ABCD 中，ABDC，且 AC BD0，则四边形 ABCD 是-（）（A）菱形（B）矩形（C）直角梯形（D）等腰梯形14.若无穷等比数列na的前n 项和为nS，首项为1，公比为 12，且aSnnlim，(n*N)，则复数iaz1（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于-（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限15在
4、 ABC中，“cossincossinAABB”是“090C”的-（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 16如图，圆C 分别与 x 轴正半轴，y 轴正半轴相切于点,A B，过劣弧 AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交 x 轴正半轴，y 轴正半轴于点,M N，若点(2,1)Q是切线上一点，则MON周长的最小值为-()（A）10 （B）8 （C）4 5（D）12三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)如 图 在长
5、方体1111DCBAABCD 中，2AB，4AD，121AC，点 M 为 AB 的中点，点 N 为 BC 的中点（1）求长方体1111DCBAABCD 的体积；（2）求异面直线MA1与NB1所成角的大小（用反三角函数表示）18(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)如图：某快递小哥从 A 地出发，沿小路 ABBC以平均时速 20 公里/小时，送快件到C 处，已知10BD（公里），0045,30DCBCDB，ABD是等腰三角形，0120ABD（1）试问，快递小哥能否在 50 分钟内将快件送到C 处？（2）快递小哥出发 15 分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由
6、于通讯不畅，公司只能派车沿大路 ADDC追赶，若汽车平均时速 60 公里/小时，问，汽车能否先到达C 处？19(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)已知函数2()31f xxtx，其定义域为0,3 12,15，(1)当2t 时，求函数()yf x的反函数；(2)如果函数()yf x在其定义域内有反函数，求实数t 的取值范围20(本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分)如图，,A B 是椭圆22:12xCy长轴的两个端点，,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直线,AM BN AN的斜率分
7、别是123,k k k.(1)求23kk的值；(2)若直线 MN 过点2,02，求证：1316k k；(3)设直线 MN 与 x 轴的交点为(,0)t(t 为常数且0t)，试探究直线 AM 与直线 BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由ABCD21(本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分)已知数列 na的前 n 项和nA 满足*11()12nnAAnNnn，且11a，数列 nb满足*2120()nnnbbbnN，32b，其前 9 项和为 36(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)当 n
8、 为奇数时，将na 放在nb 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将nb 放在na 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1122334455,a b b a a b b a a b，求该数列的前n项和nS；(3)设1nnncab，对于任意给定的正整数 2k k，是否存在正整数,()l m klm，使得,klmc c c 成等差数列？若存在，求出,l m(用k 表示)；若不存在，请说明理由2017 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科参考答案及评分标准 2018.4一 填空题：（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分 3,1 22
9、0 3(0,)41 516 6 1 7 8 9 16 102220 xyxy11 1 14，12 815 二选择题：（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题分）13A 14D 15B 16A 三 解答题：（本大题共 5 题，满分 74 分）17(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)【解】（1）连 AC、1AC ABC是直角三角形，22242 5AC 1111DCBAABCD 是长方体，BCCC1，CDCC1，又CBCDC，CC1平面 ABCD，ACCC1又在1ACCRt中，121AC，2 5AC，11CC，1 1 1 18ABCD A BC DV-6 分（
10、2）解法一：如图建立空间直角坐标系则1 4,0,1A、4,1,0M、1 4,2,1B、2,2,0N，所以10,1,1A M、12,0,1B N ，10 分则向量1A M 与1B NAxBMN CyD1A1B1C1DzENMD1C1B1A1DCBA所成角 满足111110cos10AM B NAMB N异面直线MA1与NB1所成的角等于10arccos 1014 分解法二：取 AD的中点 E，连EA1、EM 11/BAABEN，四 边 形NEBA11为 平 行 四 边 形，NBEA11/，MEA1等于异面直线MA1与NB1所成的角或其补角-9 分1AM，2AE，11 AA，得12AM，15A E
11、，5EM，125510cos10225EAM，110arccos 10EA M异面直线MA1与NB1所成的角等于10arccos 10-14 分18(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)【解】（1）10AB（公里），BCD中，由00sin 45sin30BDBC，得5 2BC（公里）-2 分于是，由105 26051.215020知，快递小哥不能在 50 分钟内将快件送到C 处-6 分（2）在 ABD中，由222110102 10 103002AD ，得10 3AD（公里），-8 分在 BCD中，0105CBD，由005 2sin105sin30CD，得5
12、13CD（公里），-10 分由10 35 1360 1520 15 345.9851.2160（分钟）知，汽车能先到达C 处-14 分19(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)【解】(1)38,8,138,73,136xxyxx ；-6 分(2)01若 302t，即0t，则 yf x在定义域上单调递增，所以具有反函数；-8 分02若 3152t，即10t，则 yf x在定义域上单调递减，所以具有反函数；-10 分03当33122t，即28t 时，由于区间0,3 关于对称轴 32t 的对称区间是33,3tt，于是当312332tt或33153122tt，即2,
13、4t 或6,8t 时，函数 yf x在定义域上满足 1-1 对应关系，具有反函数综上，(,0 2,4)(6,8 10,)t -14 分20(本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分)【解】(1)设00(,)N x y，由于(2,0),(2,0)AB，所以2000232000222yyykkxxx，因为00(,)N x y在椭圆C 上，于是220012xy，即220022xy，所以202320122ykkx.-4 分(2)设直线2:2MN xmy，1122(,),(,)M x yN x y，由222222xmyxy 得223(2)202my
14、my，于是12122223,222myyyymm ，-6 分1212132121212223 2922yyy yk kxxm y ym yy222222233221239633 229322222222mmmmmmm mm 10 分(3)由于直线 MN 与 x 轴的交点为(,0)t，于是:MN xmyt，联立直线:MN xmyt 与椭圆22:12xCy的方程，可得222(2)220mymtyt，于是212122222,22mttyyyymm.-12 分因为直线11:(2)2yAM yxx，直线22:(2)2yBN yxx，两式相除，可知1212122112212122(2)2222(2)xym
15、ytymy ytyxyyxxmytmy yty 222122122211222(2)()(2)(2)(2)222(2)(2)(2)(2)2tmtmtym ttmymmtm ttmymtym2121(2)(2)222(2)(2)2m tmytttm tmyt，于是2xt，所以2xt，即直线 AM 与直线 BN 的交点Q 落在定直线2xt上16 分21(本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分)【解】答案：(1)因为*11()12nnAAnNnn，于是数列nAn是首项为 1，公差为 12的等差数列，所以1122nAnn，即*(1)()2nn
16、nAnN，当2n 时，1nnnaAAn，又因为11a ，所以*()nan nN.-2 分又因为*2120()nnnbbbnN，于是数列 nb是等差数列，设 nb的前 n 项和为nB，由于95936Bb，则54b，由于32b，所以1(*)nbnnN-4 分(2)数列 na的前 n 项和(1)2nn nA，数列 nb的前n 项和(1)2nnnB-5 分当2(*)nk kN时，22(1)(1)22nkkkk kkkSSABk；-6 分当43(*)nkkN时，2432122(21)(23)(1)463nkkkSSABkkkkkk；-7 分当41(*)nkkN时，241212(21)(21)42nkkk
17、SSABkkkkkk；-8 分所以2221,243,4341,414nn nknSnknnk，其中*kN-10 分(3)由(1)可知，121ncn.若对于任意给定的正整数 2k k，存在正整数,()l m klm，使得,klmc c c 成等差数列，则2 lkmccc，即211212121lkm，-11 分于是121421212121(21)(21)klmlklk，所以222(1)(21 4)(21)421421klklklkkmklkl 2(21)1421kkkl，即2(21)1421kmkkl，-13 分则对任意的 2,k kkN，421kl 能整除2(21)k，且4210kl.由于当2k 时，21k 中存在多个质数，所以421kl 只能取 1 或21k 或221k-14 分若 4211kl，则21lk，2452mkk，于是2473(43)(1)0m lkkkk ，符合klm；-15 分若 42121klk ，则kl，矛盾，舍去；-16 分若2421(21)klk，则2mk，于是0m，矛盾-17 分综上，当2k 时，存在正整数221,452lkmkk，满足klm，且使得,klmc c c成等差数列-18 分
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