1、第二课时直线与平面垂直的性质新课程标准解读核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系数学抽象2.归纳出直线与平面垂直的性质定理逻辑推理3.了解直线与平面、平面与平面的距离直观想象问题(1)如果直线a垂直于一个平面，直线b与直线a平行，那么直线b与平面是否垂直？猜测结果并说明理由；(2)如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？猜测结果并说明理由知识点一直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言ab图形语言作用线面垂直线线平行；作平行线在长方体ABCDABCD中，棱AA，BB所在直线与平面AB
2、CD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？提示：棱AA，BB所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行1已知直线a，b，平面，且a，下列条件中，能推出ab的是()AbBbCb Db与相交解析：选C由线面垂直的性质定理可知，当b，a时，ab.故选C.2.如图，已知AF平面ABCD，DE平面ABCD，且AFDE，AD6，则EF_. 解析：AF平面ABCD，DE平面ABCD，AFDE.AFDE，四边形ADEF是平行四边形EFAD6.答案：6知识点二线面距与面面距1直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离2平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平
3、面内的任意一点到另一个平面的距离1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)垂直于同一条直线的两个平面平行()(2)到已知平面距离相等的两条直线平行()答案：(1)(2)2已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，则点C到平面BDD1B1的距离为()A1 B.C2 D2解析：选B如图，连接AC，与DB交于点O，在正方体ABCDA1B1C1D1中，DBAC，BB1AC，BB1DBB，AC平面BDD1B1.点C到平面BDD1B1的距离为CO.AB2，AC2，COAC.3线段AB在平面的同侧，点A，B到的距离分别为3和5，则AB的中点到的距离为_解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B
4、向作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1MM1BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA13，BB15，MM1为其中位线，MM14.答案：4直线与平面垂直的性质应用例1(链接教科书第155页练习3题)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：MNAD1.证明因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1，所以CDAD1.因为A1DCDD，所以AD1平面A1DC.又因为MN平面A1DC，所以MNAD1.证明线线平行常用的方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三
5、线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行 跟踪训练如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB平面PAD，ADAP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MNAB，MNPC.证明：AEMN.证明：因为AB平面PAD，AE平面PAD，所以AEAB，又ABCD，所以AECD.因为ADAP，E是PD的中点，所以AEPD.又CDPDD，CD，PD平面PCD，所以AE平面PCD.因为MNAB，ABCD，所以MN
6、CD.又因为MNPC，PCCDC，PC，CD平面PCD，所以MN平面PCD，所以AEMN.空间中的距离问题例2如图，已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG2，E，F分别是AB，AD的中点，求点B到平面GEF的距离解如图，连接BD，AC，EF和BD分别交AC于H，O，连接GH，作OKGH于点K.四边形ABCD为正方形，E，F分别为AB，AD的中点，EFBD，H为AO的中点BDEF，BD平面GFE，BD平面GFE.点B与平面GEF的距离就是点O到平面GEF的距离BDAC，EFAC.GC平面ABCD，GCEF.GCACC，EF平面GCH.OK平面GCH，EFOK.OKGH，GHEFH，
7、OK平面GEF，即OK的长就是点B到平面GEF的距离正方形ABCD的边长为4，CG2，AC4，HO，HC3.在RtHCG中，HG.在RtGCH中，OK.故点B到平面GEF的距离为.母题探究(变设问)若本例条件不变，如何求直线BD到平面GEF的距离呢？解：先证明BD平面GEF，将直线到平面的距离转化为求点O到平面的距离，过程和答案与例题一致求点到平面的距离一般有两种方法(1)构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解；(2)等积变换法：将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高，利用体积相等建立方程求解 跟踪训练已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，平面
8、AB1D1到平面BC1D的距离为()A.B.C. D解析：选C因为两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，由等体积法可得VC1AB1D1VAB1C1D1，即h22sin 60，解得h，即平面AB1D1到平面BC1D的距离为.直线与平面垂直关系的综合应用例3斜边为AB的直角三角形ABC，PA平面ABC.AEPB，AFPC，E，F分别为垂足，如图(1)求证：EFPB；(2)若直线l平面AEF，求证：PBl.证明(1)因为PA平面ABC，所以PABC.又因为ABC为直角三角形，所以BCAC，PAACA，所以BC平面PAC.又因为AF平面PAC，所以BCAF.又AFPC，且PC
9、BCC，所以AF平面PBC.又PB平面PBC，所以AFBP.又AEPB，且AEAFA，所以PB平面AEF.又EF平面AEF，所以EFPB.(2)由(1)知，PB平面AEF，而l平面AEF，所以PBl.线线、线面垂直问题的解题策略(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面；(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来 跟踪训练如图所示，已知AF平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，DAB90，ABCD，ADAFCD2，AB4.(1)
10、求证：AC平面BCE；(2)求证：ADAE.证明：(1)在直角梯形ABCD中，ADCD2，AB4，所以ACBC2，所以AC2BC2AB2，所以ACBC.因为AF平面ABCD，AFBE，所以BE平面ABCD，所以BEAC.又BE平面BCE，BC平面BCE，BEBCB，所以AC平面BCE.(2)因为AF平面ABCD，AD平面ABCD，所以AFAD.又DAB90，所以ABAD.又AF平面ABEF，AB平面ABEF，AFABA，所以AD平面ABEF.又AE平面ABEF，所以ADAE.1若直线a直线b，且a平面，则()AbBbCb Db或b解析：选D当b时，a，则ab；当b时，a，则ab；当b与相交时，a，则a与b不垂直因为直线ab，且a，所以b或b，故选D.2.如图，ADEF的边AF平面ABCD，且AF2，CD3，则CE()A2 B3C. D解析：选D因为四边形ADEF为平行四边形，所以AFDE且AFDE. 因为AF平面ABCD，所以DE平面ABCD.所以DEDC.因为AF2，所以DE2.又CD3，所以CE .故选D.3.如图，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB.求证：al.证明：因为EA，l，即l，所以lEA.同理lEB.又EAEBE，所以l平面EAB.因为EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.由线面垂直的性质定理，得al.
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