1、课后限时集训(五十九)圆锥曲线中的证明、探索性问题建议用时：40分钟1(2020合肥模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B(0，b)，A1A2B的面积等于2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q(1,0)，P(4，m)，直线PA1，PA2分别交椭圆C于点M，N，证明：M，Q，N三点共线解(1)由离心率为得，.由A1A2B的面积为2得，ab2.a2b2c2，联立解得，a2，b1，椭圆C的方程为y21.(2)记点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)注意到A1(2,0)，直线PA1的方程为y(x2)，与椭圆y21联立并整理得(m29)x24m2
2、x4m2360，由2x1得x1，代入直线PA1的方程得y1，即M.同理可得N.Q(1,0)，由知，M，Q，N三点共线2(2020济南模拟)已知Q为圆x2y21上一动点，Q在x轴、y轴上的射影分别为点A，B，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过点的直线与曲线C交于M，N两点，判断以MN为直径的圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由解(1)设Q(x0，y0)，P(x，y)，则xy1，由，可得，代入xy1，得y21，故曲线C的方程为y21.(2)假设存在满足条件的定点，由对称性可知该定点在y轴上，设定点为H(0，m)，当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程
3、为ykx，由得(14k2)x2kx0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以y1y2k(x1x2)，y1y2k2x1x2k(x1x2).因为(x1，y1m)，(x2，y2m)，所以x1x2y1y2m(y1y2)m20，对任意的k恒成立，所以解得m1，即定点为H(0,1)，当直线l的斜率不存在时，以MN为直径的圆也过点(0,1)，故以MN为直径的圆过定点(0,1)3设D是圆O：x2y216上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ|ED|.当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)已知点
4、P(2,3)，过F(2,0)的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x8于点M.试判断直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列，并说明理由解(1)设点Q(x，y)，D(x0，y0)，因为2|EQ|ED|，点Q在直线m上，所以x0x，|y0|y|.因为点D在圆O：x2y216上运动，所以xy16.将代入，可得x216.即曲线C的方程为1.(2)直线PA，PM，PB的斜率依次构成等差数列，理由如下由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，令x8，得点M的坐标为(8,6k)由消去y，并整理得(4k23)x216k2x16(k23)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2.记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，从而k1，k2，k3k.因为直线AB的方程为yk(x2)，所以y1k(x12)，y2k(x22)，所以k1k232k3.把代入，得k1k22k32k1.又k3k，所以k1k22k3，于是直线PA，PM，PB的斜率依次构成等差数列
