1、数形结合思想专练一、选择题1(2019长春二模)已知曲线yxx2在点P(x0，x0x)(0x01)处的切线为l，则下列各点中，不可能在直线l上的是()A(1，1) B(2,0)C(4,1) D(1，2)答案D解析画出切线l扫过的区域，如图所示，则不可能在直线上的点为(1，2)故选D. 2如果实数x，y满足(x2)2y23，则的最大值为()A B C D答案D解析方程(x2)2y23的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M(2,0)，半径为r(如图)，而，则表示圆M上的点A(x，y)与坐标原点O(0,0)的连线的斜率所以该问题可转化为动点A在以M(2,0)为圆心，以为半径的圆上移动，求直线OA的
2、斜率的最大值由图可知当OAM在第一象限，且直线OA与圆M相切时，OA的斜率最大，此时OM2，AM，OAAM，则OA1，tanAOM，故的最大值为.故选D3已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1 B2 C D答案C解析如图，设a，b， c，则ac，bC由题意知，O，A，C，B四点共圆当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|.4(2019贵阳模拟)已知函数f(x)，则下列结论正确的是()A函数f(x)的图象关于点(1,2)对称B函数f(x)在(，1)上是增函数C函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线ABx轴D函数f(x)的图象
3、关于直线x1对称答案A解析由f(x)2知f(x)是y(a0)型函数，作出其简图如图所示从图象可以看出f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称；其在区间(，1)和(1，)上均是减函数；没有能使ABx轴的点存在即只有A正确故选A5定义在实数集R上的函数f(x)，满足f(x)f(4x)f(x4)，当x0,2时，f(x)3xx1，则函数g(x)f(x)|log2(x1)|的零点个数为()A31 B32 C63 D64答案B解析由题意知，f(x)是偶函数，图象关于直线x2对称，周期是4.当x0,2时，f(x)3xx1，f(x)3xln 31，则f(x)0在0,2上恒成立，由此作出函数f(x)的图象在同一
4、坐标系中作出函数y|log2(x1)|的图象，由图象知，两函数图象共有32个交点，则函数g(x)f(x)|log2(x1)|共有32个零点，故选B二、填空题6(2020合肥质量检测)已知函数f(x)log2(x1)，且abc0，则，的大小关系为_答案0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为abc0，所以.7已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_答案解析因为(2)284，所以点A(2,4)在抛物线x28y的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连接AQ，由抛物线的
5、定义可知，APF的周长为|PF|PA|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，APF的周长取得最小值，即|AB|AF|.因为A(2,4)，所以不妨设APF的周长最小时，点P的坐标为(2，y0)，代入x28y，得y0，故使APF的周长最小的点P的坐标为.8(2019江门模拟)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x2)f(x)当x0,1时，f(x)2x.若在区间2,3上方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_答案解析由题可知f(x)为周期为2的偶函数，可得图象如右，因为在区间2,3上方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实
6、数根，即过定点A(2,0)的直线yax2a在区间2,3上与函数f(x)图象恰有四个交点，则由图可知直线斜率kACakAB，由A，B，C三点坐标可得斜率kAC，kAB，即可得a的取值范围为.三、解答题9(2019南阳模拟)设函数f(x)|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值，并求出f(x)取最小值时x的取值范围；(2)若不等式f(x)a(x1)的解集为空集，求实数a的取值范围解(1)f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当(x1)(x2)0，即1x2时取等号，f(x)min3，此时x1,2(2)f(x)那么函数f(x)的图象如图所示由于ya(x1)的图象是过定点P(1,0)、斜率为
7、a的直线，由图可得不等式f(x)a(x1)的解集为空集时，a的取值范围是kACa0)若圆C上存在点P，使得APB90，求m的最大值解根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m.因为APB90，连接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.11已知a0，函数f(x)x|xa|1(xR)(1)当a1时，求所有使f(x)x成立的x的值；(2)当a(0,3)时，求函数yf(x)在闭区间1,2上的最小值解(1)当a1时，因为x|x1|1x，所以x1或x1.(2)
8、f(x)(其示意图如图所示)当0a1时，x1a，这时f(x)x2ax1，对称轴是x1，所以函数yf(x)在区间1,2上递增，f(x)minf(1)2a；当1a2时，当xa时，函数f(x)minf(a)1；当2a3时，x2a，这时，f(x)x2ax1，对称轴是x，f(1)a，f(2)2a3.因为(2a3)aa30，所以函数f(x)minf(2)2a3.综上，当0a1时，f(x)min2a；当1a2时，f(x)min1；当2a3时，f(x)min2a3.12设函数F(x)其中f(x)ax33ax，g(x)x2ln x，方程F(x)a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围解若x(0，)，则F(x)g(x)，F(x)g(x)x，当x(0,1)时，g(x)0，所以当x1时，g(x)取极小值g(1).若x(，0，则F(x)f(x)当a0时，方程F(x)a20不可能有4个解；当a0，当x(，1)时，f(x)0时，当x(，1)时，f(x)0，当x(1,0时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的图象如图2所示，从图象看出方程F(x)a2若有4个解，则a2，所以实数a的取值范围是.- 6 -