1、高二年级（数学）学科（11月期中）考试试题考试时间：120分钟一、单选题（每题5分，共40分）1. 在区间-3，9上任取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则实数m的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】求解绝对值不等式，然后可知m3，再由测度比为长度比列式求得m值【详解】解：区间-3，9的区间长度为12，若概率为则对应区间长度为=10，由|x|m，得-mxm且若0m3,则-m,m-3，9= -m,m,对应区间长度小于等于6，不符合题意若m3，则-m,m-3，9=-3,m，根据对应区间长度为10，易知3+m=10，即m=7故选：C【点睛】本题考查几何概型概率的求法，
2、考查绝对值不等式的解法，是基础题2. 若点在圆外，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将已知圆的方程化为标准方程，找出圆心的坐标和半径，并求出满足圆成立的条件时的范围，利用两点间的距离公式求出的值，比较和半径的大小关系，列出关于的不等式，即可求得答案.【详解】把圆的方程化为标准方程为：，可得圆心的坐标为，半径，且，即.根据题意点在圆外，即，即有，整理可得，即，计算可得或，又，可得或，则实数的取值范围是.故选:.【点睛】本题考查了由点和圆的位置关系求参数的取值范围，解题时的方法是判断点到圆心的距离和半径进行比较大小，需要注意圆成立时满足的条件，这里容易出错.
3、3. 若P是圆上任一点，则点P到直线距离的最大值为（ ）A. B. C. 8D. 6【答案】D【解析】【分析】由图，得，所以当成一直线时，d取最大值，由此即可得到本题答案.【详解】设点P为圆上任意一点，直线交y轴于点Q，点P到直线的距离为d，易得，当成一直线时，d取最大值，且有. 故选：D【点睛】本题主要考查圆上一点到直线的最大距离.4. 下列叙述正确的是（ ）A. 若命题“”为假命题，则命题“”是真命题B. 命题“若，则”的否命题为“若，则”C. 命题“，”的否定是“，”D. “”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合命题知识对四个选项逐个分析，即可选出正确答案.【详解】对于选
4、项A，“”为假命题，则，两个命题至少一个为假命题，若，两个命题都是假命题，则命题“”是假命题，故选项A错误；对于选项B，“若，则”的否命题为“若，则”，符合否命题的定义，为正确选项；对于选项C，命题“，”的否定是“，”，故选项C错误；对于选项D，若，则，故“”不是“”的充分不必要条件.【点睛】本题考查了命题的真假的判断，考查了学生对基础知识的掌握情况.5. 某中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1,2，300；使用系统
5、抽样时，将学生统一编号为1,2，300，并将整个编号依次分为10段如果抽得的号码有下列四种情况：7,37,67,97,127,157,187,217,247,277；5,9,100,107,121,180,195,221,265,299；11,41,71,101,131,161,191,221,251,281；31,61,91,121,151,181,211,241,271,299关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）A. 都不能为分层抽样B. 都可能为分层抽样C. 都可能为系统抽样D. 都不能为系统抽样【答案】B【解析】【分析】根据系统抽样和分层抽样的定义分别进行判断即可.【详解】若采用简
6、单随机抽样，根据简单随机抽样的特点，1300之间任意一个号码都有可能出现；若采用分层抽样，则1120号为一年级，121210为二年级，211300为三年级.且根据分层抽样的概念，需要在1120之间抽取4个，121210与211300之间各抽取3个；若采用系统抽样，根据系统抽样的概念，需要在130，3160，6190，91 120，121150，151180，181210，211240，241270，271300之间各抽一个.项，1120之间有 4个，121210之间有 3个，211300之间有 3个，并且满足系统抽样的条件，所以项为系统抽样或分层抽样；项，1120之间有 4个，121210之间
7、有 3个，211300之间有 3个，可能为分层抽样；项，1120之间有 4个，121210之间有 3个，211300之间有 3个，并且满足系统抽样的条件，所以项为系统抽样或分层抽样；项，第一个数据大于30，所以项不可能为系统抽样，并且项不满足分层抽样的条件.综上所述，B选项正确.故选：B【点睛】本题主要考查系统抽样和分层抽样，掌握系统抽样和分层抽样的定义是解题的关键，属于基础题.（1）系统抽样适用于总体容量较大的情况.将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，在起始部分抽样时采用简单随机抽样；（2）分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的.将总体分成互不交叉的层，然后分层
8、进行抽取，各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样.6. 在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】关于面对称的点为 7. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且焦距为，则抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的两条渐近线互相垂直，得到，然后利用焦距为，求得b，进而得到抛物线的方程求解.【详解】因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以，又焦距为，所以，解得，所以 ，所以抛物线的准线方程是，故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8. 已知椭圆C的中心在原点，焦
9、点在y轴上，且短轴的长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据短轴长、离心率和椭圆关系可构造方程组求得，进而得到椭圆方程.【详解】设椭圆标准方程为：.短轴长为，解得：.离心率，又，椭圆的标准方程为.故选：.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解问题，属于基础题.二、多选题（每题5分，共20分）9. 抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A,“向上的点数是 1,2,3”为事件B,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件C,“向上的点数是 4,5,6”为事件D,则下列关于事件 A， B，C，D 判断正确的有（ ）A. A与D是互
10、斥事件但不是对立事件B. B与D是互斥事件也是对立事件C. C与D是互斥事件D. B与C 不是对立事件也不是互斥事件【答案】ABD【解析】【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接分析求解.【详解】抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A,“向上的点数是 1,2,3”为事件B,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件C,“向上的点数是 4,5,6”为事件D.事件A与D不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件但不是对立事件，故选项A正确；事件B与D不可能同时发生，且必有一个发生，故B与D是互斥事件，也是对立事件，故选项B正确；事件C与D可能同时发生，故不是互斥事件，故选项C错误；事
11、件B与C能同时发生，不是互斥事件也不是对立事件，故选项D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查推理能力，属于基础题.10. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）A. -8B. -5C. 1D. 4【答案】ACD【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，根据题意知，从而求得k的取值范围.【详解】，解得，即，解得或，由题意知，所以或，即.故选：ACD【点睛】本题考查一元二次不等式，根据集合的包含关系求参数，属于基础题.11. 下列说法正确的是（ ）A. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该
12、校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6554，则应从一年级中抽取90名学生B. 5件产品中有3件正品，2件次品，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为C. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是D. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件【答案】ABC【解析】【分析】根据分层抽样，概率，线性回归方程，互斥事件与对立事件的概念分别进行判断.【详解】A.由分层抽样，应制取人数，A正确；B.恰好取到1件次品的概率为，B正确；C.，直线过中心
13、点，可能是回归直线方程，C正确；D.一红球一黑球这个事件即是至少有一个红球，也是至少有一个黑球，因此它们不互斥，D错误.故选：ABC.12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A. 的最小值为B. 椭圆的短轴长可能为2C. 椭圆的离心率的取值范围为D. 若，则椭圆的长轴长为【答案】ACD【解析】【分析】A. 将，利用椭圆的定义转化为求解；B.假设椭圆的短轴长为2，则，与点在椭圆的内部验证；C. 根据点在椭圆内部，得到，又，解得，再由求解；D. 根据，得到为线段的中点，求得坐标，代入椭圆方程求解.【详解】A. 因为，所以，所以，当，三点共线时，取等
14、号，故正确；B.若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，则点在椭圆外，故错误；C. 因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；D. 若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查椭圆的定义，点与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、填空题（每题5分，共20分）13. 抛物线C：的焦点坐标为_.【答案】【解析】【分析】化抛物线的方程为，即得抛物线的焦点坐标.【详解】依题意，抛物线C：，故，.则焦点坐标为.故答案为：【点睛】
15、本题主要考查抛物线的焦点坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14. 若命题p：xR，ax2+4x+a2x2+1是假命题，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用命题p为假命题，得到非p为真命题，即xR，ax2+4x+a2x2+1恒成立，即可求出实数a的取值范围【详解】xR，ax2+4x+a2x2+1是假命题，非p为真命题，即xR，ax2+4x+a2x2+1恒成立，xR，（a+2）x2+4x+a10恒成立，若a+20，即a2，不等式等价为4x30，解得x，不满足条件若a+20，要使不等式恒成立，则必有，即，解得a2故答案为a2【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定的应用，
16、命题p为假命题，得到非p为真命题，是解决本题的关键15. 已知直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为_【答案】1或-1【解析】因为ABC是等腰直角三角形，所以圆心C(1，a)到直线axy10的距离drsin 45，即，所以a1.16. 设双曲线：的右焦点为，直线为双曲线的一条渐近线，点关于直线的对称点为，若点在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】分析】先求得点F到渐近线的距离，根据对称性，则可得PE、PF,再利用双曲线的定义得到a、b的关系，进而求得结果.【详解】如图：由点关于直线的对称点为，可知FHOH，又F(1,0)到渐近线l:y=的距离为，即FH=b，OH
17、=a，PF=2b，PE=2a，由双曲线的定义可知2b-2a=2a，b=2a，又c2b2+a25a2，e故答案为【点睛】本题考查双曲线C的离心率，考查双曲线的定义及简单几何性质的应用，关键是将对称问题转化为垂直平分的条件，属于中档题四、解答题（共70分）17. 已知线段的端点，在圆：上运动，设是线段中点.（1）求的轨迹方程（2）设（1）中的轨迹为，直线过点，且与曲线有公共点，求直线斜率的取值范围【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设，由中点坐标公式把用表示并代入已知圆方程可得轨迹方程（2）设出直线方程为，由圆心到直线的距离不大于半径可求得范围【详解】（1）设，则，又即(2）设：即，曲线是
18、圆，圆心为，半径为由得或【点睛】本题考查代入法（动点转移法）求轨迹方程，考查直线和圆的位置关系属于中档题直线与圆的位置关系判断一般用几何法判断：设圆心到直线的距离为，圆半径为，则直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离18. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题存在，使得不等式成立.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）考虑命题为真命题时，转化为对任意的成立，解出不等式可得出实数的取值范围；（2）考虑命题为真命题时，则可转化为对任意的成立，可解出实数的取值范围，然后由题中条件得出命题、一真一假，分真假和假真两
19、种情况讨论，于此可求出实数的取值范围.【详解】对于成立，而，有，存在，使得不等式成立，只需而，；（1）若为真，则；（2）若为假命题，为真命题，则一真一假.若为假命题，为真命题，则，所以；若为假命题，为真命题，则，所以.综上，或.【点睛】本题考查复合命题的真假与参数的取值范围，考查不等式在区间上成立，一般转化为最值来求解，另外在判断复合命题的真假性时，需要判断简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于中等题19. 某校从参加某次知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）补全频率分布直方图
20、，并估计本次知识竞赛的均分；（2）如果确定不低于85分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进人复赛；（3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值大于20的概率.【答案】（1）频率分布直方图见解析；均分为分；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据频率和为可求得组对应的频率，由此可补全频率分布直方图；利用平均数的估计方法计算可得结果；（2）由频率分布直方图计算可得分数不低于分的频率，利用总数频率即可计算得到结果；（3）根据分层抽样原则可计算求得第一组、第二组和第六组分别抽取的人数，采用列举法可确定所有基本事件和
21、满足题意的基本事件，由古典概型概率公式计算可得结果.【详解】（1）组的频率为，补全频率分布直方图如下图所示：均分为：（分）.（2）由频率分布直方图可知：分数不低于分的频率为，名参赛同学中，预估有人进入复赛.（3）第一组、第二组和第六组的频率之比为，第一组抽取人，第二组抽取人，第六组抽取人，记第一组和第二组的人为，第六组的人为，则随机抽取人，有：，共种情况，成绩之差的绝对值大于的有：，共种情况，所求概率.【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数和频率、估计平均数等知识，同时考查了分层抽样和古典概型概率问题的求解，是对概率和统计部分知识的综合考查，属于常考题型.20. 已知抛物线上的焦点为.（1
22、）求抛物线的标准方程；（2）过作斜率为的直线交曲线于、两点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标求得，结合抛物线的开口方向求得抛物线的标准方程.（2）联立直线的方程和抛物线方程，写出根与系数关系，结合求得的值，进而求得直线的方程.【详解】（1）依题意，抛物线的焦点为，开口向上，所以曲线的方程为：；（2）设过的斜率为的直线方程为：， 联立，消去并化简得. 令、，所以，由题可知：，即：，即得， 由，得：，所求直线的方程为：.【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.21. 已知点A(0，2)，椭圆E： (ab0)的离心率
23、为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，所以，. 又解得，所以椭圆方程为.（2）解：设由题
24、意可设直线的方程为：，联立消去得，当，所以，即或时.所以点到直线的距离所以，设，则，当且仅当，即，解得时取等号，满足所以的面积最大时直线的方程为：或.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22. 爱心蔬菜超市为确定某种蔬菜的日进货量，需了解日销量（单位：）随
25、上市天数的变化规律.工作人员记录了该蔬菜上市10天来的日销量与上市天数的对应数据，并对数据做了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值：55155.515.182.54.8494.9242表中.（1）根据散点图判断与哪一个更适合作为日销量关于上市天数的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（1）中的判断结果及表中数据，求日销量关于上市天数的回归方程，并预报上市第12天的日销量.附：，.对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）更适合；（2），预报值为.【解析】【分析】（1）根据散点图，结合函数图象，即可容易判断；（2）根据参考数据，先建立关于的线性回归方程，再将其转化为与之间的函数关系即可.【详解】（1）由散点图可以判断更适合作为日销量关于上市天数的回归方程.（2）令，先建立关于的线性回归方程.则，所以.故关于的回归方程为，即日销量关于上市天数的回归方程为.当时，所以，上市第12天的日销量的预报值为.【点睛】本题考查回归方程的求解，散点图，以及利用回归方程进行预测，属于中档题型，本题的关键是利用换元法将函数转化为关于的函数关系.
