1、2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学理科试卷 2016.4一 填空题：(本题满分56分，每小题4分)1抛物线的焦点坐标是_.2若集合，则=_ 3若复数满足其中为虚数单位，则_ 4求值：=_弧度5试写出展开式中系数最大的项_ 6若函数的最小值为，最大值为，则_ 7在极坐标系中，点关于直线的对称点的坐标为_8某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望_（结果用最简分数表示）9已知平面上三点A、B、C满足|=,|=，|=，则的值等于_10从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于另一个数小于（其中的概率是则_11有一个解三角形的题因
2、纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在中，角所对的边分别为已知_，求角”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示试将条件补充完整12在等差数列中，首项公差若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为_13定义在上的奇函数当时， 则关于的函数的所有零点之和为_（结果用表示） 14对于给定的正整数和正数，若等差数列满足，则的最大值为_ 二 选择题：（本题满分20分，每小题5分）15已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的-（ ）（A） 充分非必要条件（B） 必要非充分条件（C） 充要条件 （D） 既非充分也非必要条件16函数y=的反
3、函数是-（ ）（A）（B）（C） （D）17如图，圆锥形容器的高为圆锥内水面的高为且若将圆锥倒置，水面高为则等于-（ ）（A） （B） （C） （D） 18设、是关于的方程的两个不相等的实数根，那么过两点、的直线与圆的位置关系是-( ) （A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）随的变化而变化三 解答题：（本大题共5题，满分74分）19（本题满分12分；第（1）小题分，第（2）小题6分）已知函数（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数图像向右平移个单位后，得到函数的图像，求方程的解.20（本题满分14分；第（1）小题分，第（2）小题分）在直三棱柱中，且异面直线与所成的角等于，设.（1）求的值；
4、 （2）求三棱锥的体积21（本题满分14分；第（1）小题分，第（2）小题分）已知函数（1）若不等式的解集为，求的值；（2）在（1）的条件下，若存在使，求的取值范围22（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为证明：为定值；（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆过且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由23（本题满分
5、18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设集合由满足下列两个条件的数列构成：存在实数使对任意正整数都成立（1） 现在给出只有5项的有限数列其中；试判断数列是否为集合的元素；（2）数列的前项和为且对任意正整数点在直线上，证明：数列并写出实数的取值范围；（3）设数列且对满足条件中的实数的最小值都有求证：数列一定是单调递增数列2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科（理科）参考答案及评分标准 2016.4三 填空题：(本题满分56分，每小题4分)23 45 678 9 104或7 11 12200 13 14 二选择题：（本题满分20分，每小题5分）15C161718
6、四 解答题：（本大题共5题，满分74分）19（本题满分12分；第（1）小题分，第（2）小题6分）【解答】（1）， -3分由得：的单调递增区间是；-6分（2）由已知， -9分由，得， ，. -12分20（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）【解答】如图建立空间直角坐标系，则由题意得，所以。-3分设向量所成角为，则，或，由于，所以，得，解得-6分（2）连接，则三棱锥的体积等于三棱锥的体积，的面积，的面积，（11分）又平面，所以，所以（14分）21（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）【解答】（1）即即-3分-6分（2）时，若存在使即-8分则-10分当时等号成立即-1
7、4分22（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）【解答】（1）由题意得，所以又点在椭圆上，所以解得所以椭圆的标准方程为-3分（2）由（1）知，设点则直线的方程为 直线的方程为 把点的坐标代入得 所以直线的方程为令得令得所以又点在椭圆上，所以即为定值-9分（3）由椭圆的对称性，不妨设由题意知，点在轴上，设点则圆的方程为-11分由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点的距离的最小值是设点是椭圆上任意一点，则当时，最小，所以 假设椭圆存在过左焦点的内切圆，则 又点在椭圆上，所以 -14分由得或当时，不合题意，舍去，且经验证，符合题意。综上，椭圆存在过左焦点的内切圆，圆心
8、的坐标是-16分23（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）【解答】（1）对于数列不满足集合的条件，数列不是集合中的元素.对于数列，而且，当时有显然满足集合的条件，故数列是集合中的元素. -4分（2）因为点在直线上，所以 当时，有 ，得所以，当时，有又 所以因此，对任意正整数都有所以，数列是公比为的等比数列，故对任意正整数都有且故实数的取值范围是实数的取值范围是-10分（3）假设数列不是单递增数列，则一定存在正整数使-12分此时，我们用数学归纳法证明：对于任意的正整数当时都有成立.时，显然有成立； 假设时，则当时，由可得从而有所以由知，对任意的都有-16分显然这个值中一定有一个最大的，不妨记为于是从而与已知条件相矛盾.所以假设不成立，故命题得证-18分
