1、学业水平训练1已知向量 e1，e2 不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是()Ae1e2 与 e2e1B2e13e2 与 e132e2Ce12e2 与 2e14e2De12e2 与 2e1e2解析：选 D.根据基底的定义，只要两向量不共线便可作为基底，易知选 D.2已知向量 ae12e2，b2e1e2，其中 e1、e2 不共线，则 ab 与 c6e12e2 的关系是()A不共线 B共线C相等D不确定解析：选 B.ab3e1e2，c2(ab)ab 与 c 共线3.如图，在矩形 ABCD 中，若BC5e1，DC 3e2，则OC()A.12(5e13e2)B.12(5e13e2)C.12
2、(3e25e1)D.12(5e23e1)解析：选 A.OC 12AC12(BCAB)12(BCDC)12(5e13e2)4设点 O 是ABCD 两对角线的交点，下列向量组：AD 与AB；DA 与BC；CA与DC；OD 与OB，可作为该平面其他向量基底的是()ABCD解析：选 B.易知AD 与AB不共线，CA与DC 不共线，故选 B.5若 D 在ABC 的边 BC 上，且CD 4DB rABsAC，则 3rs()A.165B.125C.85D.45解析：选 C.由题意得CD 45CB45AB45AC，r45，s45，3rs85.6.如图，在平行四边形 ABCD 中，ABa，AD b，M 是 DC
3、 的中点，以 a，b 为基底表示向量AM _解析：AM AD DM AD 12DC AD 12ABb12a.答案：b12a7设 a，b 是两个不共线向量，已知AB2akb，CBab，CD 2ab，若 A、B、D 三点共线，则 k_解析：CBab，CD 2ab，BD CD CB(2ab)(ab)a2b.A、B、D 三点共线，ABBD，2akb(a2b)a2b.又 a，b 是两个不共线向量，2k2，k4.答案：48.如图，A，B，C 是圆 O 上的三点，CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外一点 D，若OC mOA nOB，则 mn 的取值范围是_解析：由点 D 是圆 O 外一点，可设
4、BD BA(1)，则OD OB BAOA(1)OB.又 C，O，D 三点共线，令OD OC(1)，则OC OA 1 OB(1，1)，所以m，n1，且 mn1 1(1，0)答案：(1，0)9已知 e1，e2 是平面内两个不共线的向量，a3e12e2，b2e1e2，c7e14e2，试用向量 a 和 b 表示 c.解：a，b 不共线，可设 cxayb，则 xaybx(3e12e2)y(2e1e2)(3x2y)e1(2xy)e27e14e2.又e1，e2 不共线，3x2y7，2xy4，解得x1，y2，ca2b.10.如图，平行四边形 ABCD 中，ABa，AD b，H，M 是 AD，DC 的中点，BF
5、13BC，以 a，b 为基底表示向量AM 与HF.解：由 H，M，F 所在位置有：AM AD DM AD 12DC AD 12ABb12a，HF AFAH ABBFAH AB13BC12AD AB13AD 12AD a16b.高考水平训练1AD 与 BE 分别为ABC 的边 BC，AC 上的中线，且AD a，BEb，则BC()A.43a23bB.23a43bC.23a23bD23a23b解析：选 B.设 AD 与 BE 交点为 F，则AF23a，BF23b.由ABBFFA0，得AB23(ab)，所以BC2BD 2(AD AB)23a43b.2已知 e1 与 e2 不共线，ae12e2，be1e
6、2，且 a 与 b 可作为一组基底，则实数 的取值范围是_解析：当 ab 时，设 amb，则有 e12e2m(e1e2)，即 e12e2me1me2，1m，2m，解得 12，即当 12时，ab.又 a 与 b 可作为一组基底，a 与 b 不共线，12.答案：(，12)(12，)3.如图，已知 E，F 分别是矩形 ABCD 的边 BC，CD 的中点，EF 与 AC 交于点 G，若ABa，AD b，用 a，b 表示AG.解：易知CF12CD，CE12CB.设CG CA，则由平行四边形法则可得CG(CBCD)2CE2CF，由于 E，G，F 三点共线，则 221，则 14，从而CG 14CA，从而AG 34AC34(ab)4.已知OAB 中，延长 BA 到 C，使 ABAC，D 是将OB 分成 21 两部分的一个分点，DC 和 OA 交于点 E，设OA a，OB b.(1)用 a，b 表示向量OC，DC；(2)若OE OA，求实数 的值解：(1)A 为 BC 的中点，OA 12(OB OC)，OC 2ab.DC OC OD OC 23OB2ab23b2a53b.(2)OE OA，CEOE OC OA OCa2ab(2)ab.CE与CD 共线，存在实数 m，使得CEmCD，即(2)abm(2a53b)，即(2m2)a(153m)b0.a，b 不共线，2m20，153m0，解得 45.