1、1.2类比推理课时过关能力提升1.已知RtABC的两条直角边长分别为a,b,则其面积S=12ab.若三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,类比上述结论可得此三棱锥的体积VP-ABC等于()A.12abc B.13abc C.16abc D.abc答案:C2.已知bn为等比数列,b5=2,则b1b2b3b9=29.若an为等差数列,a5=2,则关于an的类似结论为()A.a1a2a3a9=29B.a1+a2+a9=29C.a1a2a9=29D.a1+a2+a9=29解析:类比等比数列bn中b1b2b3b9=b59,可得在等差数列an中有a1+a2
2、+a9=9a5=92.答案:D3.在平面直角坐标系内,方程xa+yb=1表示在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线,拓展到空间,在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a,b,c(abc0)的直线方程为()A.xa+yb+zc=1B.xab+ybc+zac=1C.xyab+yzbc+zxac=1D.ax+by+cz=1解析:由类比推理知,方程应为xa+yb+zc=1.答案:A4.如图,面积为S的平面凸四边形的第i条边的长记为ai(i=1,2,3,4),此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i=1,2,3,4),若a11=a22=a33=a44=k,则i=14(ihi)=2Sk.类比上述性质,体积
3、为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i=1,2,3,4),若S11=S22=S33=S44=K,则i=14(iHi)等于()A.4VK B.3VK C.2VK D.VK答案:B5.若数列an(nN+)是等差数列,则通项公式为bn=a1+a2+a3+ann(nN+)的数列bn也是等差数列.类比上述性质,相应地:若数列cn(nN+)是等比数列,且cn0,则通项公式为Dn=(nN+)的数列Dn也是等比数列.答案:nc1c2c3cn6.类比以(0,0)为圆心、以r为半径的圆的方程为x2+y2=r2,写出以(0,0,0)为球心、以r为半
4、径的球面的方程为.解析:将平面方程推广到空间中需用三维坐标,即空间中球面上的一点P的坐标为(x,y,z),由P到球心的距离等于半径可得x2+y2+z2=r2.答案:x2+y2+z2=r27.在正三角形中,设它的内切圆的半径为r,容易求得正三角形的周长C(r)=63r,面积S(r)=33r2,发现S(r)=C(r).这是平面几何中的一个重要发现.请用类比推理的方法猜测空间正四面体中存在的类似结论为 .解析:在正四面体中,设它的内切球的半径为r,由等体积法易得四面体的高h=4r.设正四面体的棱长为x,根据正四面体的几何特征可知33x2+(4r)2=x2,解得x=26r,则正四面体的表面积和体积分别
5、为:S(r)=412(26r)2sin 60=243r2.V(r)=134r12(26r)2sin 60=83r3.故空间正四面体存在的类似结论为:在正四面体中,设它的内切球的半径为r,容易求得正四面体的表面积S(r)=243r2,体积V(r)=83r3,发现V(r)=S(r).答案:在正四面体中,设它的内切球的半径为r,容易求得正四面体的表面积S(r)=243r2,体积V(r)=83r3,发现V(r)=S(r)8.在等比数列an中,若前n项之积为Tn,则有T3n=T2nTn3.在等差数列bn中,若前n项之和为Sn,用类比的方法得到的结论是_.答案:S3n=3(S2n-Sn)9.已知点A(x1
6、,ax1),B(x2,ax2)是函数y=ax(a1)的图像上任意不同的两点,依据图像可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图像的上方,因此有结论ax1+ax22ax1+x22成立.运用类比的思想方法可知,若点A(x1,sin x1),B(x2,sin x2)是函数y=sin x(x(0,)的图像上任意不同的两点,则类似的有成立.解析:依据函数y=sin x(x(0,)的图像可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图像的下方,所以有sin x1+sin x22sinx1+x22.答案:sin x1+sin x22b0)具有性质:若A是椭圆的一条与x轴不垂直的弦的中点,则该弦所在直线的斜率等于点
7、A的横坐标、纵坐标的比值与常数-b2a2的积.试对双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)写出类似的性质,并证明.解:若B是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条与x轴不垂直的弦的中点,则该弦所在直线的斜率等于点B的横坐标、纵坐标的比值与常数b2a2的积.证明如下:设弦的端点为M(x1,y1),N(x2,y2)(x1x2),MN的中点B(x0,y0),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.由M,N在双曲线上,得x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两式左右分别相减,得(x1-x2)2x0a2-(y1-y2)2y0b2=0(x1x2).整理得y1-y2x1-x2=b2x0a2y0,即kMN=x0y0b2a2.5