1、第2课时直线与椭圆的位置关系课时过关能力提升1.椭圆4x2+9y2=36的左焦点到直线y=2x-5的距离为()A.1B.25C.3D.3解析:将椭圆化为标准方程x29+y24=1.左焦点坐标为(-5,0),直线为2x-y-5=0.左焦点到直线2x-y-5=0的距离d=|-25-5|5=3.答案:C2.椭圆x212+y23=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是()A.34 B.32 C.22 D.34解析:由条件可令F1(-3,0),PF1的中点在y轴上,点P的坐标为(3,y0),由P在椭圆x212+y23=1上,得y0=32.M的坐标是0,34.
2、故选A.答案:A3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P.若AP=2PB,则椭圆的离心率是()A.32 B.22 C.13 D.12解析:由题意,知F(-c,0),A(a,0),B-c,b2a.BFx轴,APPB=ac.又AP=2PB,ac=2,即e=ca=12.答案:D4.已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在一点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为()A.53 B.23 C.22 D.59解析:如图,设椭圆的另一个焦点为F1,PF与圆相切于点A,且A为PF的中点.又O为F1F
3、的中点,|PF1|=2|AO|=2b.|PF|=2a-2b.|PF|2=|AF|=a-b.在RtOAF中,|OA|=b,|OF|=c,c2=b2+(a-b)2,即3b=2a.令a=3,则b=2,c=5,e=53.答案:A5.若直线3x-y-2=0截焦点为(0,52)的椭圆所得弦的中点横坐标是12,则该椭圆的方程是()A.2x225+2y275=1B.2x275+2y225=1C.x225+y275=1D.x275+y225=1解析:设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(ab0),由y2a2+x2b2=1,3x-y-2=0,联立得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0,x1+x2=
4、12b2a2+9b2=1,a2=3b2.又由焦点为(0,52)知,a2-b2=50.由,得a2=75,b2=25.故所求椭圆方程为x225+y275=1.答案:C6.若直线y=kx+1与曲线x=1-4y2有两个不同的交点,则k的取值范围是_.解析:由x=1-4y2,得x2+4y2=1(x0),又直线y=kx+1过定点(0,1),故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y轴右侧的部分有两个公共点,当直线与椭圆(右侧部分)相切时,k=-32,则相交时k2).其离心率为32,故a2-4a=32,则a=4.故椭圆C2的方程为y216+x24=1.(2)方法一:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),
5、(xB,yB),由OB=2OA及(1)知,O,A,B三点共线,且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入x24+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以xA2=41+4k2.将y=kx代入y216+x24=1中,得(4+k2)x2=16,所以xB2=164+k2.又由OB=2OA,得xB2=4xA2,即164+k2=161+4k2,解得k=1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.方法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由OB=2OA及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入x24+y
6、2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以xA2=41+4k2.由OB=2OA,得xB2=161+4k2,yB2=16k21+4k2.将xB2,yB2代入y216+x24=1中,得4+k21+4k2=1,即4+k2=1+4k2,解得k=1.故直线AB的方程为y=x或y=-x.10.在ABC中,B(-23,0),C(23,0),且ABC的周长为8+43.(1)求顶点A的轨迹M的方程;(2)过点P(2,1)作曲线M的一条弦,使弦被这点平分,求此弦所在的直线方程.解:(1)由已知,得|AB|+|AC|=8,|BC|=43,|AB|+|AC|BC|,点A的轨迹是以C,B为焦点,长轴长为8的椭圆(除去长轴的两个端点).设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则a=4,c=23,b2=a2-C2=4.故轨迹M的方程为x216+y24=1(y0).(2)设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2.A,B在曲线M上,x1216+y124=1,x2216+y224=1,两式相减,得(x12-x22)+4(y12-y22)=0,y1-y2x1-x2=-(x1+x2)4(y1-y2)=12,kAB=-12.所求直线方程为x+2y-4=0.6