1、专题12 动点最值之费马点模型费马点模型：如图，在ABC内部找到一点P，使得PAPBPC的值最小.当点P满足APBBPCCPA120，则PAPBPC的值最小，P点称为三角形的费马点.特别地，ABC中，最大的角要小于120，若最大的角大于或等于120，此时费马点就是最大角的顶点A（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120）费马点的性质：1费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120。 费马点最小值解法：以ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值证明过程：将APC边以A为顶点逆时针旋转60，得到AQE，连接PQ，则APQ为等边三
2、角形，PA=PQ。即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE例题1. 已知：ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。AGC=AGB=BGC=120.求证：GA+GB+GC的值最小.例题2. 已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长 【变式训练1】已知点P是ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫ABC的费马点。已经证明：在三个内角均小于120的ABC中，当APBAPCBPC120时，P就是ABC的费马点。若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PDPEPF .【变式训练2】如图，已知矩形ABCD
3、，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为_【变式训练3】如图，P是锐角ABC所在平面上一点，如果APBBPCCPA120，则点P就叫做ABC费马点。（1）当ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为 ；（2）若点P是ABC的费马点，ABC60，PA2，PC3，则PB的值为 ；（3）如图2，在锐角BC外侧作等边ACB，连接BB.求证：BB过ABC的费马点P.【变式训练4】如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB500米，AD800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一
4、个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）课后训练1.如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB2，则AP+BP+CP的最小值为（）A+B+C4D32.如图，点P为锐角ABC的费马点，且PA3，PC4，ABC60，则费马距离为 . 3.如图，四边形ABCD是菱形，AB4，且ABCABE60，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM的最小值为 4.若点P 为ABC所在平面上一点，且APBBPCC
5、PA120， 则点P叫做ABC的费马点（1）若P为锐角ABC的费马点，且ABC60，PA3，PC4， 则PB的值为 ；（2）如图，在锐角ABC的外侧作等边ACB，连结BB求证：BB 过ABC的费马点P，且BBPAPBPC5.如图1，P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马点：（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P （填是或不是）该三角形的费马点；（2）如果点P为锐角ABC的费马点，且ABC60，求证：ABPBCP；（3）已知锐角ABC，分别以AB、AC为边向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P点，如图2，求CPD的度数；求证：P点为ABC的费马点.6.如图l，在ABC中，ACB90，点P为ABC内一点（1）连接PB，PC，将BCP沿射线CA方向平移，得到DAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE依题意，请在图2中补全图形；如果BPCE，BP3，AB6，求CE的长（2）如图3，以点A为旋转中心，将ABP顺时针旋转60得到AMN，连接PA、PB、PC，当AC3，AB6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值