1、专题16 动点最值之瓜豆模型模型一、运动轨迹为直线问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？ 解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1理由：易知CPP1CPP1，则CPP1=CQQ1，故可知Q
2、点轨迹为一条直线.模型总结：条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量结论： 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；例1.如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值【答案】【解析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时
3、，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60时，作出P点位置P2连接P1P2，即为P点轨迹根据ABP60，可知：与y轴夹角为60，作OP，所得OP长度即为最小值，OP2OA3，所以例2.如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，ACx轴于点M，交直线yx于点N，若点P是线段ON上的一个动点，APB30，BAPA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是_答案答】【分析】PAB90，APB30，可得：AP:AB，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为，P点轨迹长ON为，故B点轨迹长为【变式训练1】
4、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，求CG的最小值是多少？【答案】【解析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在位置，最终G点在位置（不一定在CD边），即为G点运动轨迹CG最小值即当CG的时候取到，作CH于点H，CH即为所求的最小值根据模型可知：与AB夹角为60，故过点E作EFCH于点F，则HF1，所以，因此CG的最小值为【变式训练2】
5、如图，ABC是边长为6的等边三角形，点E在AB上，点D为BC的中点，EDM为等边三角形若点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径长为6 【解答】解：当点E在B时，M在AB的中点N处，当点E与A重合时，M的位置如图所示，所以点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径为MN的长，ABC是等边三角形，D是BC的中点，ADBC，BAD30，AB6，AD3，EDM是等边三角形，AMAD3，DAM60，NAM30+6090，ANAB3，在RtNAM中，由勾股定理得：MN6，则M点所经历的路径长为6，故答案为：6【变式训练3】如图，在矩形ABCD中，AB4，DCA30，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，
6、以DF为斜边作DFE30的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是 【解答】解：E的运动路径是线段EE的长；AB4，DCA30，BC，当F与A点重合时，在RtADE中，AD，DAE30，ADE60，DE，CDE30，当F与C重合时，EDC60，EDE90，DEE30，在RtDEE中，EE；故答案为【变式训练4】如图，已知线段AB12，点C在线段AB上，且ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 . 【答案】6【解析】如图所示，FCB30，F的路径是定射线DF，又点
7、M是DF的中点，D点为定点，F点为主动点，M点为从动点，由瓜豆原理内容可知M点的路径亦是一条射线，取CD的中点N，连接NM并延长，则射线NM就是M点的路径，且NMCF，作BGNM于点G，交CF于点H，则BGCF，故BGBHHGBHCN426，线段BM的最小值即为BG，最小值为6.模型二、运动轨迹为圆问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 解析：Q点轨迹是一个圆理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有AMQAOP，问题2.如图，APQ是直角三角形，PAQ=90且AP
8、=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 解析：Q点轨迹是一个圆理由：APAQ，Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；又AP：AQ=2：1，Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM，且相似比为2模型总结：条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：PAQ=OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比例1.如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0
9、），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_【答案】1.5【解析】由题意可知M点为主动点，C点为从动点，B点为定点C是BM中点，可知C点轨迹为取BP中点F，以F为圆心，FC为半径作圆，即为点C轨迹，如图所示：由题中数据可知OP5，又点A、F分别是OB、BP的中点，AF是BPO的中位线，AF2.5，当M运动到如图位置时，AC的值最小，此时A、C、O三点共线，AC2.511.5.例2.如图，A是B上任意一点，点C在B外，已知AB2，BC4，ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A44B4C48D6【答案】A【详解】解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM
10、，连接DM，即在和中，点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，要使面积最大，则求出点D到线段BC的最大距离，是边长为4的等边三角形，点M到BC的距离是，点D到BC的最大距离是，的面积最大值是故选：A例3.如图，正方形ABCD中，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90得DF，连接AE、CF求线段OF长的最小值【解析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆考虑DEDF且DE=DF，故作DMDO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小可
11、构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值答案为 【变式训练1】如图，在等腰RtABC中，ACBC，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为_【答案】【解析】当点P位于弧AB的中点时，M为AB的中点，设分别为AC、BC的中点，连接交CP于点O，如图所示：，当点P沿半圆从点A运动至点B时 ，点M的运动路径是以O为圆心，1为半径的半圆，如图蓝色半圆，点M的运动路径长为.【变式训练2】如图，AB为的直径，C为上一点，其中，P为上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（ ）ABCD【答案】D【详解
12、】如图，连接OQ，作CHAB于HAQQP，OQPA，AQO90，点Q的运动轨迹为以AO为直径的K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大,COH60在RtOCH中，COH60，OC=AB=3，OHOC，CH，在RtCKH中，CK，CQ的最大值为，故选：D【变式训练3】如图， 中， 于点 是半径为2的上一动点， 连结 ， 若是的中点， 连结， 则长的最大值为 （ ）A3BC4D【答案】B【详解】解：如图，可知P在BA延长线与的交点时此时长的最大，证明如下：连接BP,BD=DC,是的中点，DE/BP, ,所以当BP的长最大时，长的最大，由题意可知P在BA延长线与的交点时BP的长最大此时长
13、的最大，BC=6,AD=4,BD=DC=3,BA=5,的半径为2，即AP=2,BP=5+2=7,.故选：B.课后训练1.如图，在ABC中，ACB90，A30，BC2，D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰RtDCE，使CED90，连接BE，则线段BE的最小值为 .【解答】【解析】由题意可知C为定点，D点为主动点，路径为线段AB，点E为从动点，DCE是等腰直角三角形，DCE45，结合瓜豆原理内容可知从动点E的路径为一条线段，可以看成是由线段AB先绕着定点C逆时针旋转45，再以定点C为位似中心，以为位似比缩小来的，如图，将BE的最小距离转化为点到线的最小距离（点B到的最短距离），由旋转相似可得
14、，在中，有，则，线段BE的最小值为.3.如图，点O在线段上，的半径为1，点P是上一动点，以为一边作等边，则的最小值为_【答案】【详解】解：如图，在上方以为一边作等边，连接，和都是等边三角形，即，在和中，点在以点为圆心，长为半径的圆上，如图，设与交于点，过点作于点，则，则当点与点重合时，取得最小值，最小值为，是等边三角形，在中，则，即的最小值为，故答案为：4.点A是双曲线在第一象限上的一个动点，连接AO并延长交另一交令一分支点B，以AB为斜边作等腰RtABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但始终在某函数图像上运动，则这个函数的解析式为 . 【答案】【解析】连接OC，作C
15、D轴于点D，AE轴于点E，如图所示：设点A的坐标为，A、B两点是正比例函数图像与反比例函数图像的交点，点A与点B关于原点对称，OAOB，ABC为等腰直角三角形，OCOA，OCOA，DOCAOE90，DOCDCO90，DCOAOE，在COD与OAE中，CODOAE（AAS），点C在反比例函数的图像上.7如图，AB为O的直径，C为O上一点，其中AB2，AOC120，P为O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为_ 【答案】【详解】解：如图，连接OQ，作CHAB于HAQ=QP，OQPA，AQO=90点Q的运动轨迹为以AO为直径的K，连接CK当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
16、在中，COH=60，OC=1，OH=，在中，CQ的最大值为故答案为：8.如图，已知点M（0，4），N（4，0），开始时，ABC的三个顶点A、B、C分别与点M、N、O重合，点A在y轴上从点M开始向点O滑动，到达点O结束运动，同时点B沿着x轴向右滑动，则在此运动过程中，点C的运动路径长4 【解答】解：过点C作CDx轴，CEy轴点M（0，4），N（4，0），OMON，CAC+45EAB+MGB45+MGB，EACBGB，BGB+GBB45，GBB+DBC45，EACDBC，又ACBC，RtACERtBCD（HL），ECDC，C在第四象限的角平分线上，C的运动轨迹是线段AC，C的运动路径长为4；故答案为4；9.如图，已知在扇形AOB中，OA3，AOB120，C是在上的动点，以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，求点D运动的路径长？【答案】【解析】将圆O补充完整，延长BO交圆O于点F，取的中点H，连接FH、HB、BD，如图所示：由题意可得FHB是等腰直角三角形，HFHB，FHB90，FDB45FHB，点D在圆H上运动，轨迹如图中蓝色虚线，HFGHCF15，FHG150，CHB120，点D的运动路径长度为.