1、2.2最大值、最小值问题第1课时利用导数求函数的最大(小)值课时过关能力提升1.函数y=2x3-3x2-12x+4在0,3上的最大值和最小值分别是()A.4,-16B.-4,-16C.4,16D.-4,16解析:y=6x2-6x-12,由y=0得,x=2或x=-1(舍),又f(0)=4,f(2)=-16,f(3)=-5,故函数y在0,3上的最大值和最小值分别是4和-16.答案:A2.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数),f(x)在-2,2上有最大值3,则函数f(x)在-2,2上的最小值是()A.-37B.-29C.-5D.以上都不对解析:f(x)=6x(x-2),f(x)在(-2,
2、0)上是增加的,在(0,2)上是减少的,当x=0时,f(x)=m最大,m=3.f(-2)=-37,f(2)=-5.最小值为-37.答案:A3.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为()A.1B.12C.52D.22答案:D4.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-,1)上有最小值,则函数g(x)=f(x)x在区间(1,+)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减少的D.是增加的解析:f(x)=x2-2ax+a在区间(-,1)上有最小值,a1.g(x)=f(x)x=x+ax-2a,则g(x)=1-ax2=x2-ax2.
3、x(1,+),a0,即g(x)0.g(x)在(1,+)上是增加的.答案:D5.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n-1,1,则f(m)+f(n)的最小值是()A.-13B.-15C.10D.15解析:求导得f(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值,知f(2)=0,即-34+2a2=0,a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f(x)=-3x2+6x,易知f(x)在(-1,0)上递减,在(0,1)上递增,当m-1,1时,f(m)min=f(0)=-4.又f(x)=-3x2+6x的图像开口向下,且对称轴为x=1,当n-1,1时,f(n)min=
4、f(-1)=-9.故f(m)+f(n)的最小值为-13.答案:A6.已知函数f(x)=ax4-4ax3+b(a0),x1,4,f(x)的最大值为3,最小值为-6,则a+b=.解析:f(x)=4ax3-12ax2.令f(x)=0,得x=0(舍去),或x=3.所以f(x)的最小值为f(3)=b-27a.又f(1)=b-3a,f(4)=b,f(4)为最大值,b=3,b-27a=-6,解得a=13,b=3.a+b=103.答案:1037.定义在R上的可导函数f(x)=x2+2xf(2)+15,在闭区间0,m上有最大值15,最小值-1,则m的取值范围是.答案:4,88.已知函数f(x)=ln x-a2x
5、2+ax(aR),若函数f(x)在区间1,+)上是减少的,则实数a的取值范围是.解析:f(x)=1x-2a2x+a,当a=0时,f(x)=1x0,f(x)在1,+)上是增加的,不合题意;当a0时,要使函数f(x)在区间1,+)上是减少的,只需f(x)0在区间1,+)上恒成立.x0,只需2a2x2-ax-10恒成立,a4a21,2a2-a-10.解得a1或a-12.所求实数a的取值范围是-,-121,+).答案:-,-121,+)9.已知函数f(x)=-x3+ax2+bx,在区间-2,1内,当x=-1时,f(x)取得极小值,当x=23时,f(x)取得极大值.(1)求函数f(x)的表达式;(2)求
6、函数f(x)在-2,1上的最大值与最小值.解:(1)依题意,得f(x)=-3x2+2ax+b,由f(-1)=0,f23=0,解得a=-12,b=2,故f(x)=-x3-12x2+2x.(2)因为f(-1)=-32,f23=2227,f(-2)=2,f(1)=12,所以f(x)max=2,f(x)min=-32.10.已知函数f(x)=ln x,g(x)=12ax+b.(1)若曲线f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的函数表达式;(2)若(x)=m(x-1)x+1-f(x)在1,+)上是减少的,求实数m的取值范围.解:(1)由题意,得f(x)=1x,则f(1)=1.因为曲线f(x)与g(
7、x)在x=1处相切,所以12a=1,得a=2.故g(x)=x+b.又f(1)=0,所以切点坐标为(1,0),则有0=1+b,b=-1,故g(x)的表达式为g(x)=x-1.(2)因为(x)=m(x-1)x+1-ln x,所以(x)=2m(x+1)2-1x.因为(x)在1,+)上是减少的,所以(x)0在1,+)上恒成立,即m(x+1)22x在1,+)上恒成立.令h(x)=(x+1)22x,x1,+),则h(x)=x2-12x2,x1,+).令h(x)=0,得x=1.则h(x)在1,+)上是增加的,故h(x)min=2,所以m2.11.已知函数f(x)=ax3-12x,f(x)的导函数为f(x).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(1)=-6,求函数f(x)在-1,3上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=3ax2-12=3(ax2-4).当a0时,f(x)0,x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-,-2a-2a-2a,2a2a2a,+f(x)+0-0+f(x)极大值极小值此时,f(x)在-,-2a,2a,+上是增加的,在-2a,2a上是减少的.(2)由f(1)=3a-12=-6,得a=2.由(1)知,f(x)在(-1,2)上是减少的,在(2,3)上是增加的.因为f(-1)=10,f2=-82,f3=18,所以f(x)在-1,3上的最大值为18,最小值为-82.