1、4用向量讨论垂直与平行课时过关能力提升1.若两个不同平面,的法向量分别为u=(1,2,-1),v=(-4,-8,4),则()A.B.C.,相交但不垂直D.重合解析:由题意,知u=-14v,.答案:A2.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面的法向量为u=(-2,0,-4),则()A.lB.lC.lD.l与相交(不垂直)答案:B3.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA平面ABC,则点P的坐标为()A.(1,0,-2)B.(1,0,2)C.(-1,0,2)D.(2,0,-1)解析:由题意,知AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1),
2、AP=(x,-1,z).又PA平面ABC,所以有ABAP=0,APAC=0,得-x+1-z=0,2x+z=0,联立解得x=-1,z=2,故点P的坐标为(-1,0,2).答案:C4.若直线l的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为1,12,2,且l,则m的值为()A.1B.2C.4D.-4解析:l,l的方向向量与平面的法向量共线.(2,1,m)=1,12,2,解得m=4.答案:C5.在菱形ABCD中,若PA是平面ABCD的一个法向量,则以下等式中可能不成立的是()A.PAAB=0B.PCBD=0C.PCAB=0D.PACD=0解析:PA平面ABCD,BDPA.又ACBD,PCBD,故选项B正确
3、,选项A和D显然成立.答案:C6.给定下列命题:若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2;若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2=0;若n是平面的法向量,且向量a与平面共面,则an=0;若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.其中正确命题的个数是.解析:正确,中应为n1n2.答案:37.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,则直线A1F与直线C1E的位置关系是.(填:平行或垂直或不确定)答案:垂直8.若AB=CD+CE(,R),则直线AB与平面CDE的位置关系是 .解析:AB=CD+CE(,R),AB与CD,CE共面.
4、AB平面CDE或AB平面CDE.答案:AB平面CDE或AB平面CDE9.已知平面上的两个向量a=(2,3,1),b=(5,6,4),则平面的一个法向量为.(填序号)(1,-1,1)(2,-1,1)(-2,1,1)(-1,1,-1)解析:显然a与b不平行,设平面的法向量为n=(x,y,z),则an=0,bn=0,即2x+3y+z=0,5x+6y+4z=0.令z=1,得x=-2,y=1,即n=(-2,1,1).答案:10.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.求证:(1)ACBC1;(2)AC1平面CDB1.证明:直三棱柱ABC-A
5、1B1C1的底面的三边长AC=3,BC=4,AB=5,ACBC,AC,BC,C1C两两垂直.如图所示,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D32,2,0.(1)AC=(-3,0,0),BC1=(0,-4,4),ACBC1=0,ACBC1,ACBC1.(2)如图,设CB1与C1B的交点为E,连接DE,则E(0,2,2),DE=-32,0,2,AC1=(-3,0,4),DE=12AC1,DEAC1,DEAC1.DE平面CDB1,AC1平面CDB1,AC1平面C
6、DB1.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.(1)求证:平面AED平面A1FD1;(2)在直线AE上求一点M,使得A1M平面AED.(1)证明以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),DA=D1A1=(2,0,0),DE=(2,2,1),D1F=(0,1,-2).设平面AED的一个法向量为n1=(x1,y1,z1).由n1DA=(x1,y1,z1)(2,0,0)=0,n1DE
7、=(x1,y1,z1)(2,2,1)=0,得2x1=0,2x1+2y1+z1=0.令y1=1,得n1=(0,1,-2).同理可得平面A1FD1的另一个法向量n2=(0,2,1).n1n2=(0,1,-2)(0,2,1)=0,n1n2,平面AED平面A1FD1.(2)解由于点M在直线AE上,因此可设AM=AE=(0,2,1)=(0,2,),则M(2,2,),A1M=(0,2,-2).要使A1M平面AED,只需A1Mn1,即21=-2-2,解得=25.故当AM=25AE时,A1M平面AED.12.如图所示,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的一点.若S
8、D平面PAC,问:侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面PAC?若存在,求SEEC的值;若不存在,试说明理由.解:如图所示,连接BD,交AC于点O,连接SO,由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点,直线OB,OC,OS分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设底面正方形的边长为a,则高SO=62a,所以C0,22a,0,B22a,0,0,S0,0,62a,D-22a,0,0,则DS=22a,0,62a,CS=0,-22a,62a,BC=-22a,22a,0.假设在棱SC上存在一点E,使BE平面PAC.由题意,知DS是平面PAC的一个法向量.设CE=tCS,则BE=BC+CE=BC+tCS=-22a,22a(1-t),62at.BE平面PAC,SD平面PAC,BESD,BEDS=0,-a22+32a2t=0,t=13,即当SEEC=21时,BEDS.又BE平面PAC,当SEEC=21时,BE平面PAC.