1、1.2椭圆的简单性质第1课时椭圆的简单性质课时过关能力提升1.已知点(3,2)在椭圆x2a2+y2b2=1(a0,b0,且ab)上,则()A.点(-3,-2)不在椭圆上B.点(3,-2)不在椭圆上C.点(-3,2)在椭圆上D.以上都不对解析:由椭圆的图像既关于x轴、y轴成轴对称,又关于坐标原点成中心对称,选C.答案:C2.椭圆x2a2+y2b2=1(a0,b0,且ab)和x2a2+y2b2=k(k0,a0,b0,且ab)具有()A.相同的长轴B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的离心率答案:D3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是()A.x23+y24=
2、1B.x24+y23=1C.x24+y22=1D.x24+y23=1解析:由中心在原点的椭圆C的右焦点F(1,0)知,c=1.又离心率等于12,则ca=12,得a=2.由b2=a2-c2=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1.答案:D4.如图,直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,该椭圆的离心率为()A.15B.25C.55D.255解析:x-2y+2=0,y=12x+1,而bc=12,即a2-c2c2=12,a2c2=54,即e=ca=255.答案:D5.已知椭圆的中心在原点,对称轴是坐标轴,离心率e=32且过点P(2,3),则此椭圆的标准方程是()A.x240+y210
3、=1B.y240+x210=1C.x240+y210=1或y225+4x225=1D.y225+4x225=1解析:分焦点在x轴、y轴上两种情况,用待定系数法求解.(1)若所求椭圆的焦点在x轴上,设其方程为x2a2+y2b2=1(a0,b0),则1-b2a2=34,4a2+9b2=1,解得a2=40,b2=10.故所求椭圆的标准方程为x240+y210=1.(2)同理可得焦点在y轴上时,所求椭圆的标准方程为y225+4x225=1.答案:C6.过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若F1PF2=60,则椭圆的离心率e为()A.22 B.33
4、C.12 D.13解析:设|F1F2|=2c,则|PF1|=233c,|PF2|=433c,|PF1|+|PF2|=23c=2a,离心率为ca=33.答案:B7.如图所示,底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30的平面所截,其截口是一个椭圆,则这个椭圆的长轴长为,短轴长为.答案:83 cm12 cm8.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为32,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为_.解析:由已知,得2a=12,ca=32,a=6,c=33,b=3,椭圆G的方程为x236+y29=1.答案:x236+y29=19.如图所示,把椭圆x225+y216=1的长轴A
5、B分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=_.解析:由椭圆的定义及对称性,知|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F1|=2a.同理,|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a=10.又|P4F|=a=5,故原式=310+5=35.答案:3510.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)离心率是23,长轴长是6;(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.解:(1)设椭圆的标准方程为x2a2+
6、y2b2=1(ab0)或y2a2+x2b2=1(ab0).由已知,得2a=6,e=ca=23,a=3,c=2.b2=a2-c2=9-4=5.椭圆的标准方程为x29+y25=1或x25+y29=1.(2)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).如图所示,B1FB2为等腰直角三角形,OF为斜边B1B2上的中线(高),且|OF|=c,|B1B2|=2b,c=b=3,a2=b2+c2=18,故所求椭圆的标准方程为x218+y29=1.11.如图所示,椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,A,B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1x轴,PF2AB,求此椭圆的离心率.解:(方法一)设椭圆
7、的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则有F1(-c,0),F2(c,0),A(0,b),B(a,0),直线PF1的方程为x=-c,代入方程x2a2+y2b2=1,得y=b2a,P-c,b2a.又PF2AB,PF1F2AOB,|PF1|F1F2|=|AO|OB|,b22ac=ba,b=2c,b2=4c2,a2-c2=4c2,c2a2=15,e2=15,则e=55,椭圆的离心率为55.(方法二)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则F1(-c,0),F2(c,0),A(0,b),B(a,0).设P(-c,y0)(y00)代入方程x2a2+y2b2=1,得y0=b2a,P-c,b2a.PF2AB,kAB=kPF2,0-ba-0=0-b2ac-(-c),b=2c,b2=4c2.又b2=a2-c2,a2-c2=4c2,e2=c2a2=15,e=55,椭圆的离心率为55.8