1、3双曲线3.1双曲线及其标准方程课时过关能力提升1.“ab0,则a的值为()A.2B.14C.46D.6解析:椭圆x225+y216=1的焦点坐标为(3,0),a2+5=9,a2=4.a0,a=2.答案:A3.若k1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线解析:k1,k2-10,1+k0.原方程可化为y2k2-1-x21+k=1.方程(1-k)x2+y2=k2-1表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.答案:C4.若椭圆x2m+y2n=1(mn0)和双曲线x2s-y2t=1(s,t
2、0)有相同的焦点F1和F2,而点P是这两条曲线的一个交点,则|PF1|PF2|的值是()A.m-sB.12(m-s)C.m2-s2D.m-s解析:不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点,由题意,得|PF1|+|PF2|=2m,|PF1|-|PF2|=2s,解得|PF1|=m+s,|PF2|=m-s.则|PF1|PF2|=(m+s)(m-s)=m-s.答案:A5.双曲线x2n-y2=1(n1)的两焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2n+2,则PF1F2的面积为()A.12B.1C.2D.4答案:B6.已知一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y2=16相
3、外切,则动圆圆心P的轨迹方程为 .解析:因为动圆圆心P到点A(-4,0)与到点B(4,0)的距离差|PA|-|PB|=4,所以其轨迹是以A,B为焦点的双曲线的左支.a=2,c=4,b2=c2-a2=12.故轨迹方程为x24-y212=1(x-2).答案:x24-y212=1(x-2)7.已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),A,B在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一焦点,则ABF1的周长为.解析:由双曲线定义,得|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=4a.|AF1|
4、+|BF1|=4a+m.ABF1的周长是4a+2m.答案:4a+2m8.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=25,经过点A(2,-5),焦点在y轴上;(2)过点A(3,2)和B(17,12).解:(1)因为双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0).由题设,知a=25,且点A(2,-5)在双曲线上,所以a=25,25a2-4b2=1,解得a2=20,b2=16.故所求双曲线的标准方程为y220-x216=1.(2)方法一:若焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0).由已知条件,得9a2-4b2=1,172a2-12
5、2b2=1,解得1a2=1,1b2=2.则双曲线的标准方程为x2-2y2=1.若焦点在y轴上,设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0).由已知条件,得4a2-9b2=1,122a2-172b2=1,解得1a2=-2,1b2=-1.(不符合题意,舍去)综上所述,所求双曲线的标准方程为x2-2y2=1.方法二:设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn0),则9m-4n=1,172m-122n=1,解得m=1,n=2.所以双曲线的标准方程为x2-2y2=1.9.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图),|PA|=100 m,|PB|=150 m
6、,APB=60,试说明怎样运土才能最省工.解:如图,以AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.设M是分界线上的点,则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,于是有|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.这说明这条分界线是以A,B为焦点的双曲线的右支.在APB中,由余弦定理,得|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP|PB|cos 60=17 500.从而a=25,c2=|AB|24=4 375,所以b2=c2-a2=3 750.所以所求分界线的方程为x2625-y23 750=1(x25).于是运土时,将此双曲线左侧的土沿AP运到点P处,右侧
7、的土沿BP运到P处最省工.10.已知双曲线过点(3,-2),且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.(1)求双曲线的标准方程;(2)若点M在双曲线上,F1,F2为左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=63,试判断MF1F2的形状.解:(1)椭圆方程可化为x29+y24=1,焦点在x轴上,且c=9-4=5,故设双曲线方程为x2a2-y2b2=1,则有9a2-4b2=1,a2+b2=5,解得a2=3,b2=2.所以双曲线的标准方程为x23-y22=1.(2)不妨设M点在双曲线的右支上,则有|MF1|-|MF2|=23,又|MF1|+|MF2|=63,故解得|MF1|=43,|MF2|=23.又|F1F2|=25,因此在MF1F2中,|MF1|边最长,由余弦定理可得cos MF2F1=|MF2|2+|F1F2|2-|MF1|22|MF2|F1F2|0,所以MF2F1为钝角,故MF1F2为钝角三角形.6