1、3函数的单调性第1课时函数单调性的定义与判断课时过关能力提升1.设函数f(x)在区间(a,b),(c,d)上是增加的,且x1(a,b),x2(c,d).若x1x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A.f(x1)f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.不能确定答案:D2.若y=f(x)是R上的增函数,且f(2m)f(9-m),则实数m的取值范围是()A.(3,+)B.(-,3)C.(-,0)D.(-3,3)解析:依题意,得2m9-m,解得mf(2a)B.f(a2)f(a)C.f(a2+a)f(a)D.f(a2+1)a,且f(x)是(-,+)上的减函数,f(a2+1)f(a).而其他选项中
2、,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D.答案:D4.已知函数f(x)=x2+1,x0,-x2,x0,则函数f(x)()A.在(0,+)上是减少的B.在(-,0)上是增加的,在(0,+)上是减少的C.不能判断单调性D.在(-,+)上是增加的解析:如图,通过画函数f(x)的图像,可知D项正确.答案:D5.已知函数f(x)=1x,则y=f(x-1)+1的递减区间为()A.(0,1)B.(-,0)C.x|x1D.(-,1)和(1,+)解析:因为f(x)=1x的递减区间是(-,0)和(0,+),又y=f(x-1)+1=1x-1+1,故可知y=1x-1+1的递减区间是(-,1)和(1,+).答案:D
3、6.若函数f(x)=-x2+2ax-2a,x1,ax+1,x1是(-,+)上的减函数,则实数a的取值范围是()A.(-2,0)B.-2,0)C.(-,1D.(-,0)解析:由x1时,f(x)=-x2+2ax-2a是减少的,得a1.由x1时,函数f(x)=ax+1是减少的,得a0.分段点1处的值应满足-12+2a1-2a1a+1,解得a-2,故-2a0,x2-3x,x0的递增区间是_.解析:由y=-x2+3x,x0,x2-3x,x0作出该函数的图像(草图)如图,观察图像知函数在区间0,32上是增加的.答案:0,328.设函数f(x)满足:对任意的x1,x2R都有(x1-x2)f(x1)-f(x2
4、)0,则f(-3)与f(-)的大小关系是.解析:由题意知,当x1x2时,f(x1)f(x2),当x1x2时,f(x1)-,所以f(-3)f(-).答案:f(-3)f(-)9.若函数f(x+1)=x2-2x+1的定义域是-2,0,则f(x)的递减区间是.答案:-1,110.已知函数f(x)=a-2x.(1)若2f(1)=f(2),求a的值;(2)判断f(x)在(-,0)上的单调性并用定义证明.解:(1)2f(1)=f(2),2(a-2)=a-1,a=3.(2)f(x)在(-,0)上是增加的,证明如下:任取x1,x2(-,0),且x10.又x1x2,x1-x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x
5、1)0时,f(x)1.(1)求证:f(x)在R上是增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.(1)证明任取x1,x2R,且x10,f(x2-x1)1.f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10.f(x2)f(x1).故f(x)在R上是增函数.(2)解f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,f(2)=3.原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2).f(x)在R上是增函数,3m2-m-22,解得-1m43.故不等式的解集为-1,43.12.已知函数f(x)=x-ax+a2在(1,+)上是增加的,求实数a的取值范围.解:任取x1,x2(1,+),且x1x2.函数f(x)在(1,+)上是增加的,f(x1)-f(x2)=x1-ax1+a2-x2-ax2+a2=(x1-x2)1+ax1x20.又x1-x20,即a-x1x2.1x11,-x1x2-1.a-1.实数a的取值范围是-1,+).