1、02第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量课时过关能力提升1.AB=CD的一个必要不充分条件是()A.A与C重合B.A与C重合,B与D重合C.|AB|=|CD|D.A,B,C,D四点共线解析:向量相等只需方向相同,长度相等,而与表示向量的有向线段的起点、终点的位置无关.表示两个共线向量的两条有向线段所在的直线平行或重合,不能得到四点共线.答案:C2.有下列命题:两个有共同起点且相等的非零空间向量,其终点可能不同;若非零向量AB与CD是共线向量,则A,B,C,D四点共线;若非零的空间向量a与b共线,则a=b;若空间向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反.其中真命题的个数是()A.0B.
2、1C.2D.3解析:显然为假命题;也是假命题,因为向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念;是假命题,两个非零向量共线,是说这两个向量方向相同或相反,而两个向量相等是说这两个向量大小相等且方向相同,因而共线向量不一定是相等向量,而相等向量却一定是共线向量;是假命题,因为若a为零向量,则a与任一向量平行,但零向量的方向可以是任意的.答案:A3.在平行六面体ABCD-ABCD中(ABBCAA),与向量AB的模相等的向量有()A.7个B.3个C.5个D.6个解析:|DC|=|DC|=|CD|=|CD|=|BA|=|AB|=|BA|=|AB|.答案:A4.已知向量a,b是空间中的两个非零向量
3、,a0,b0分别是与a,b同方向的单位向量,则下列各式中正确的是()A.a=bB.a0=1C.a0=b0或a0=-b0D.|a0|=|b0|解析:向量a,b不一定是共线向量,若a,b不共线,则a0,b0也不共线,故A,C错;向量与数量不相等,故B错.答案:D5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1D1和D1C1的中点,则的大小为()A.4 B.34 C.2 D.3解析:如图,连接A1C1,则A1C1MN,又因为B1C1BC,故=-A1C1B1=-4=34.答案:B6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,连接各顶点所得的向量中与向量AA1平行且模相等的向量有_个.解析:AA1的模
4、等于线段AA1的长度,而线段AA1为棱柱的侧棱,故与AA1平行且模相等的向量应为与棱柱的侧棱相对应的向量.答案:57.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,给出下列说法:向量A1C与向量AC1所成的角是135;向量AA1是平面ABCD的法向量,也是平面A1B1C1D1的法向量;向量A1B与向量D1C是相等向量;向量A1B1与向量B1A1是相反向量.其中正确的有_.(填序号).解析:中向量A1C与向量AC1所成的角是arccos13;向量AA1所在的直线既垂直于平面ABCD,也垂直于平面A1B1C1D1,故正确;易知正确.答案:8.若直线l的方向向量为a,平面的法向量为b,当l时,一定有.(填a
5、与b的位置关系)解析:当l时,直线l与平面的垂线垂直.答案:ab9.如图所示,在四棱锥D1-ABCD中,AD=DD1=CD,底面ABCD是正方形,DD1平面ABCD,E是AD1的中点,求.解:取CD1的中点F,连接EF,DF,则EF=12AC,=.DD1平面ABCD,DD1AD,DD1CD,又AD=DD1=CD,DE=DF=EF=22DD1,EFD为正三角形.FED=3.=23.10.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,D是AB的中点.(1)求;(2)试以D为起点作直线AC1的方向向量.解:(1)在ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,则AC2+BC2=AB2,ACBC.CC1平面ABC,AC平面ABC,CC1AC,BCCC1=C,且BC,CC1平面BB1C1C,AC平面BB1C1C.又BC1平面BB1C1C,ACBC1,=90.(2)设BC1交B1C于点O,连接OD,则ODAC1,DO就是AC1的一个方向向量,如图所示(作法不唯一).5