1、3双曲线3.1双曲线及其标准方程课时过关能力提升1.方程x22sin+3+y2sin-2=1所表示的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线解析:因为12sin +35,-3sin -2-1,所以此方程所表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线.答案:C2.双曲线2x2-y2=8的焦距是()A.2B.22C.43D.42解析:因为双曲线方程的标准形式为x24-y28=1,所以c2=4+8=12,得c=23,所以|F1F2|=2c=43.答案:C3.P是双曲线x2-y2=16的左支上一点,F1,F2分别是左、右焦点,则|PF1|-|PF2|=
2、()A.-8B.8C.-4D.4解析:将x2-y2=16化为标准形式为x216-y216=1,所以a2=16,2a=8.因为P点在双曲线左支上,所以|PF1|-|PF2|=-8.答案:A4.设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为()A.x2132-y2122=1B.x2132-y252=1C.x232-y242=1D.x242-y232=1解析:由题意可知曲线C2为双曲线方程,且2a=8,焦点与椭圆的焦点相同.在椭圆C1中,e=ca=513,2a=26,则有c=5,所以双曲线方程中b2=c2-
3、a2=9.所以双曲线的方程为x216-y29=1,即x242-y232=1.答案:D5.已知双曲线C:x29-y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则PF1F2的面积等于()A.24B.36C.48D.96解析:由题意,得a2=9,b2=16,则c=5.又由双曲线定义,得|PF1|-|PF2|=2a=6,|PF2|=|F1F2|=2c=10,所以|PF1|=16,所以等腰PF1F2中底边PF1上的高为102-82=6.故SPF1F2=12166=48.故选C.答案:C6.已知双曲线x29-y216=1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3
4、,则点P到另一个焦点的距离为_.答案:97.已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),A,B两点都在双曲线的右支上,且线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一焦点,则ABF1的周长为.解析:由双曲线定义,得|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=4a.|AF1|+|BF1|=4a+m.ABF1的周长是4a+2m.答案:4a+2m8.双曲线x2m-y2m-5=1的一个焦点到中心的距离为3,那么m=_.解析:(1)当焦点在x轴上时,即m5,则c2=M+m-5=9,m=7.(2)当焦点在y轴上时,即
5、m0,m0),则9m+28n=1,72m+49n=1,解得m=-175,n=125.故双曲线的标准方程为y225-x275=1.答案:y225-x275=110.如图所示,在ABC中,已知|AB|=42,且三个内角A,B,C满足2sin A+sin C=2sin B,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.分析:条件中给出了角的关系,根据正弦定理,将角的关系转化为边的关系.由于A,B可视为定点,且|AB|=42,从而可考虑用定义法求轨迹方程.解:如图所示,以AB边所在的直线为x轴,AB边的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-22,0),B(22,0).2sin A+sin C=2sin
6、 B,又由正弦定理,知sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R,2a+c=2b,即b-a=c2.|CA|-|CB|=12|AB|=222).11.根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)c=6,经过点(-5,2),且焦点在x轴上;(2)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0,-5),F2(0,5),双曲线上一点P到F1,F2的距离之差的绝对值等于6.解:(1)c=6,且焦点在x轴上,故可设标准方程为x2a2-y26-a2=1(a20,b0).2a=6,2c=10,a=3,c=5,b2=52-32=16.所求双曲线标准方程为y29-x216=1.12.设点P到点M(-1,0),N(1,0)的距离之差为2m,到x轴、y轴的距离之比为2,求m的取值范围.分析:先求出P点的轨迹方程,再结合双曲线的定义求参数的范围.解:设点P的坐标为(x,y),依题意,有|y|x|=2,即y=2x(x0).所以点P(x,y),M(-1,0),N(1,0)三点不共线,所以|PM|-|PN|0,所以0|m|0,所以1-5m20,解得0|m|55,所以m的取值范围为-55,00,55.
