1、1.2函数的极值第1课时利用导数求函数极值(点)课时过关能力提升1.若函数y=f(x)可导,则“f(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:A2.若函数f(x)=x2x在x0处有极小值,则x0等于()A.1ln2B.-1ln2C.-ln 2D.ln 2解析:y=x2xln 2+2x=2x(xln 2+1).令y=0,解得x=-1ln2.答案:B3.下列结论中,正确的是()A.导数为0的点一定是极值点B.已知f(x)在x=x0处可导,如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小
2、值D.已知f(x)在x=x0处可导,如果在x0附近的左侧f(x)0,那么f(x0)是极大值解析:根据极值的概念,在x0左侧f(x)0,f(x)此时递增;在x0右侧f(x)0,f(x)此时递减,f(x0)为极大值.答案:B4.如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图像.下列说法错误的是()A.-2是函数y=f(x)的极小值点B.1是函数y=f(x)的极值点C.y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零D.y=f(x)在区间(-2,2)上是增加的解析:由图像可知f(1)=0,但是当-2x0,且当1x0.故1不是函数f(x)的极值点.故B选项错误.答案:B5.函数f(x)=sin x+x2,x(0
3、,)的极大值是()A.32+6B.-32+3C.32+3D.1+4解析:f(x)=cos x+12,x(0,),由f(x)=0,得cos x=-12,解得x=23.且当x0,23时,f(x)0;当x23,时,f(x)0,此时函数f(x)是增加的;当x(0,2)时,f(x)0,此时函数f(x)是增加的.所以当x=0时,f(x)有极大值f(0)=0;当x=2时,f(x)有极小值f(2)=-4.故正确.答案:7.如图是y=f(x)导数的图像,对于下列四种说法:f(x)在-2,-1上是增加的;x=-1是f(x)的极小值点;f(x)在-1,2上是增加的,在2,4上是减少的;3是f(x)的极小值点.其中正
4、确的是.(填序号)解析:根据导数与函数的单调性、极值之间的关系可判断.答案:8.函数y=sin x+cos x在0,上的极大值为.解析:y=sin x+cos x,y=cos x-sin x.令y=0,则x=4.当x在0,上变化时.f(x)和f(x)在0,上的变化情况如下表:x0,444,f(x)+0-f(x)2由表可知在0,上极大值为2.答案:29.求下列函数的极值:(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;(2)f(x)=lnxx.解:(1)函数f(x)=x3-3x2-9x+5的定义域为R,且f(x)=3x2-6x-9.解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3.当x变化时,f(x)
5、与f(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,3)3(3,+)f(x)+0-0+f(x)10-22因此,x=-1是函数的极大值点,极大值为f(-1)=10;x=3是函数的极小值点,极小值为f(3)=-22.(2)函数f(x)=lnxx的定义域为(0,+),且f(x)=1-lnxx2,令f(x)=0,得x=e.当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:x(0,e)e(e,+)f(x)+0-f(x)1e因此,x=e是函数的极大值点,极大值为f(e)=1e,没有极小值.10.设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f(x),若函数y=f(x)的图像关于直线x=-12对称,且f(1)
6、=0.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值.解:(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1,所以f(x)=6x2+2ax+b.从而f(x)=6x+a62+b-a26,即y=f(x)的图像关于直线x=-a6对称.由题设条件,知-a6=-12,解得a=3.又因为f(1)=0,所以6+2a+b=0,解得b=-12.(2)由(1),知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2).令f(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0,解得x1=-2,x2=1.当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)21-6由表可知,函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f(1)=-6.6