1、3定积分的简单应用3.1平面图形的面积1.在下面所给图形中阴影部分的面积S及相应的表达式中,正确的有()A.B.C.D.解析:应是S=ab f(x)-g(x)dx;应是S=08 22xdx-48 (2x-8)dx;和正确.故选D.答案:D2.由曲线y=x2与直线x+y=2所围成的图形的面积为()A.72 B.4 C.92 D.5解析:由y=x2,x+y=2,得y=x2与x+y=2图像的交点坐标为(-2,4)和(1,1).则所求图形的面积为S=-21 (2-x)dx-21 x2dx=2x-12x2|-21-13x3|-21=32+6-3=92.答案:C3.由y=sin x及y=-sin x在区间
2、0,上所围成的图形的面积为()A.2B.C.2D.4解析:所围成图形的面积为S= 0sin x-(-sin x)dx=2 0sin xdx=2(-cos x)|0=2(-cos +cos 0)=4.答案:D4.由曲线y=x2+2x,直线x=-1,x=1及x轴所围成的图形的面积为()A.83 B.2 C.43 D.23解析:S=-10 (-x2-2x)dx+01 (x2+2x)dx=-13x3-x2|-10+13x3+x2|01=2.答案:B5.由抛物线y=x2-x,直线x=-1及x轴围成的图形的面积为()A.23 B.1 C.43 D.53解析:所求的面积S=-10 (x2-x)dx+01 (
3、x-x2)dx=13x3-12x2|-10+12x2-13x3|01=1.答案:B6.若两条曲线y=x2与y=cx3(c0)围成的图形的面积是23,则c等于()A.13 B.12 C.1 D.23解析:由y=x2,y=cx3,得x=0或x=1c.0xcx3,曲线围成的图形的面积S=01c (x2-cx3)dx=13x3-14cx4|01c=13c3-14c3=112c3=23.c3=18.c=12.答案:B7.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为.解析:01 3x2dx=x3|01=1,即阴影部分的面积为1.因为长方形区域的面积为3,所以所求概率为13.答
4、案:138.由两条曲线y=x2,y=14x2与直线y=1围成的平面区域的面积是_.解析:如图,y=1与y=x2交于点A(1,1),C(-1,1);y=1与y=x24交于点B(2,1),D(-2,1).由图像的对称性可知所求面积S=201x2dx+121dx-0214x2dx=43.答案:439.求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.解:如图,所求面积S=A1+A2,解方程组y2=2x,y=4-x,得交点坐标为(2,2),(8,-4).A1部分:由y=2x,y=-2x,x=2,x=0围成,所以A1=02 2x-(-2x)dx=2202 x12dx=2223x32|02=163.
5、A2部分:由y=4-x,y=-2x,x=2和x=8围成,所以A2=28 4-x-(-2x)dx=4x-12x2+223x32|28=383.故S=163+383=18.10.设点P在曲线y=x2上,且从原点向点A(2,4)移动,如果直线OP,曲线y=x2及直线x=2所围成的两部分图形的面积分别记为S1,S2. (1)当S1=S2时,求点P的坐标;(2)当S1+S2有最小值时,求点P的坐标和最小值.解:(1)设点P的横坐标为t(0t2),则点P的坐标为(t,t2),直线OP的方程为y=tx.S1=0t (tx-x2)dx=16t3,S2=t2 (x2-tx)dx=83-2t+16t3.因为S1=S2,所以t=43,点P的坐标为43,169.(2)由(1)知S=S1+S2=16t3+83-2t+16t3=13t3-2t+83,S=t2-2.令S=0,得t2-2=0.因为0t2,所以t=2.当0t2时,S0;当2t0,所以当t=2时,S有最小值83-423,此时点P的坐标为(2,2).6