1、第2课时导数在实际问题中的应用1.某城市在发展过程中,交通状况越来越多地受到大家的关注,根据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:y=-18t3-34t2+36t-6294,则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是()A.6时B.7时C.8时D.9时解析:y=-38t2-32t+36,令y=0,解得t=8或t=-12(舍去),当0t0;当t8时,y0,所以t=8为函数的极大值点,也是最大值点.故当t=8时,通过该路段用时最多.答案:C2.将一段长为100 cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段
2、弯成圆,当正方形与圆的面积之和最小时,圆的周长为()A.50 cmB.1004+ cmC.1002+ cmD.25 cm解析:设圆的周长为x cm,则正方形的周长为(100-x)cm,且0x100.故圆的半径为r=x2,正方形的边长为25-x4,圆与正方形的面积之和为S(x)=14x2+25-x42(0x100),则S(x)=12x-1225-x4.由S(x)=0,得x=1004+,此时S(x)取得最小值.答案:B3.如果底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为()A.3VB.32VC.34VD.23V解析:设棱柱的底面边长为x,高为h,34x2h=V,h=4V3x2
3、=43V3x2.S表=234x2+3xh=32x2+43Vx,S(x)=3x-43Vx2.令S(x)=0,可得3x=43Vx2,x3=4V,x=34V.当0x34V时,S(x)34V时,S(x)0,当x=34V时,S(x)最小.答案:C4.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k0),贷款的利率为0.048,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x(0,0.048),为使银行获得最大收益,则存款利率应定为()A.0.032B.0.024C.0.04D.0.036解析:设存款利率为x,依题意知存款量是kx2,银行应支付的利息是kx3,贷款
4、的收益是0.048kx2,x(0,0.048).所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(0x0.048).由于y=0.096kx-3kx2,令y=0得,x=0.032或x=0(舍去).又当0x0;当0.032x0.048时,y0).令l=-512y2+2=0,解得y=16(另一负根舍去).当0y16时,l16时,l0.所以当y=16时,函数l=512y+2y(y0)取得极小值,也就是最小值,此时x=51216=32.答案:A6.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(单位:万元)与到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处
5、建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 km处.解析:依题意可设每月土地占用费y1=k1x(k10),每月库存货物的运费y2=k2x(k20),其中x是仓库到车站的距离,k1,k2是比例系数.于是由2=k110,得k1=20;由8=10k2,得k2=45.因此,两项费用之和为y=20x+4x5(x0),从而y=-20x2+45.令y=0,得x=5或x=-5(舍去).当0x5时,y5时,y0.因此,当x=5时,y取得极小值,也是最小值.故当仓库建在离车站5 km处时,两项费用之和最小.答案:57.某网球中心欲建连成片的网球场数块,用128万元购买土地
6、10 000平方米,该中心每块球场的建设面积为1 000平方米,球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关,当该中心建球场x块时,每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用f(x)=8001+15lnx来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和),该网球中心应建几个球场?解:设建成x个球场,则1x10,每平方米的购地费用为1281041 000x=1 280x元,因为每平方米的平均建设费用可近似地用表示为f(x)=8001+15lnx,所以每平方米的综合费用为g(x)=f(x)+1 280x=800+160ln x+1 280x(x0),所以g(x
7、)=160(x-8)x2(x0),令g(x)=0,则x=8.当0x8时,g(x)8时,g(x)0.所以x=8时,函数取得极小值,且为最小值.故当建成8座球场时,每平方米的综合费用最省.8.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=ax-3+10(x-6)2,其中3x6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解:(1)当x=5时,y=11,代入关系式,得a2+10=11,解得a=2.(2)由(1)知该商品每日的销售量y=2x-3+10(x-6)2,商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)2x-3+10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3x33V5时,S0;当0r33V5时,S0,易知r=33V5是极小值点,也是最小值点,所以当r=33V5时,用料最省.将r=33V5代入式,得h=r=33V5.故当h=r=33V5时,用料最省.