1、03-04年高考数学仿真试题(四)第卷(选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题p:a2+b20(a,bR);命题q:a2+b20(a,bR),下列结论正确的是A.“p或q”为真B.“p且q”为真C.“非p”为假D.“非q”为真2.已知向量a=(cos75,sin75),b=(cos15,sin15),那么ab的值是A.B.C.D.13.正项等比数列an满足：a2a4=1,S3=13,bn=log3an，则数列bn的前10项的和是A.65B.65C.25D.254.空间四边形四条边所在的直线中，互相垂直的
2、直线最多有A.2对B.3对C.4对D.5对5.P为椭圆=1上一点，F1、F2为焦点，如果PF1F2=75,PF2F1=15,则椭圆的离心率为A.B.C.D. 6.有下面四个命题，其中正确命题的序号是“直线a、b为异面直线”的充分而不必要条件是“直线a、b不相交”；“直线l平面内所有直线”的充要条件是“l平面”;“直线a直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；“直线a平面”的必要而不充分条件是“直线a平行于内的一条直线.”A.B.C.D.7.如果a1、a2、a3、a4、a5、a6的平均数（期望）为3，那么2(a13)、2(a23)、2(a33)、2(a43)、2(a53)、2(a63)的平
3、均数（期望）是A.0B.3C.6D.128.如果函数y=log2ax1(a0)的图象的对称轴方程是x=2,那么a等于A.B.C.2D.29.若f(x)=ax3+3x2+2,且f(1)=4,则a等于A.B.C.D.10.已知抛物线y=ax2的焦点为F，准线l与对称轴交于点R，过抛物线上一点P（1，2）作PQl，垂足为Q，则梯形PQRF的面积为A.B.C.D.11.在某市举行的“市长杯”足球比赛中，由全市的6支中学足球队参加.比赛组委会规定：比赛采取单循环赛制进行，每个队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.在今年即将举行的“市长杯”足球比赛中，参加比赛的市第一中学足球队的可能的积分值有A.1
4、3种B.14种C.15种D.16种12.给出四个命题，则其中正确命题的序号为存在一个ABC，使得sinA+cosA=1;ABC中,AB的充要条件为sinAsinB;直线x=是函数y=sin(2x+)图象的一条对称轴；ABC中，若sin2A=sin2B,则ABC一定是等腰三角形.A.B.C.D.第卷(非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.已知x、y满足线性约束条件则线性目标函数z=3x+2y的最小值是_.14.(1x+x2)3(12x2)4=a0+a1x+a2x2+a14x14,则a1+a3+a5+a11+a13=_.15.有三个球和一
5、个正方体，第一个球与正方体各个面相内切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体各顶点，则这三个球的面积之比为_.16.设函数f(x)=sin(wx+)(w0,给出以下四个结论：它的周期为;它的图象关于直线x=对称；它的图象关于点（,0）对称； 在区间（,0）上是增函数.以其中两个论断为条件，另两个论断作结论写出你认为正确的一个命题：_.三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方通过（绿灯亮通过）的概率分别为，对于在该大街上行驶的汽车，求：（1）在三个地方
6、都不停车的概率；（2）在三个地方都停车的概率；（3）只在一个地方停车的概率.18.(本小题满分12分)已知平面向量a=(,1),b=(,),若存在不为零的实数k和角,使向量c=a+ (sin3)b,d=ka+(sin)b,且cd，试求实数k的取值范围.19.（本小题满分12分）如图,四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，PD底面ABCD，PD=AD.求证：（1）平面PAC平面PBD；（2）求PC与平面PBD所成的角；（3）在线段PB上是否存在一点E，使得PC平面ADE？若存在，请加以证明，并求此时二面角AEDB的大小；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）如图所示，曲线段OMB是函
7、数f(x)=x2(0x6)的图象，BAx轴于A，曲线段OMB上一点M（t,f(t)）处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于点Q，（1）试用t表示切线PQ的方程；（2）试用t表示出QAP的面积g(t);若函数g(t)在（m,n）上单调递减，试求出m的最小值；（3）若SQAP,64，试求出点P横坐标的取值范围.21.(本小题满分12分)已知点H（3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足=0，=，（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过点T（1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得ABE为等边三角形，求x0的值.22.（
8、本小题满分14分）设f1(x)=,定义fn+1 (x)=f1fn(x),an=,其中nN*.(1)求数列an的通项公式；（2）若T2n=a1+2a2+3a3+2na2n,Qn=,其中nN*,试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由.03-04年高考数学仿真试题(四)答案1.A 2.D 3.D 4.B 5.A 6.C 7.A 8.B 9.D 10.C 11.C 12.B13. 14.13 15.123 16.或17.(1)P=.4分（2）P=8分（3）P=+=. 12分18.cd,cd=0,2分即a+(sin3)bka+(sin)b=0,4分也即ka2+absink(sin3)ab+sin(sin
9、3)b2=0,又a=(,1),b=(,),ab=0,且a2=a2=4,b2=b2=1,6分4k+sin(sin3)=0,8分k=(sin)2, 10分而1sin1,当sin=1时，k取最大值1；当sin=1时，k取最小值.所以所求k的取值范围为,1 12分19.(1)PD底面ABCD，ACPD，又底面ABCD为正方形，ACBD，而PD与BD交于点D，AC平面PBD， 2分又AC平面PAC，平面PAC平面PBD.4分（2）记AC与BD相交于O，连结PO，由（1）知，AC平面PBD，PC在平面PBD内的射影是PO，CPO就是PC与平面PBD所成的角，6分PD=AD,在RtPDC中，PC=CD，而在
10、正方形ABCD中，OC=AC= CD，在RtPOC中，有CPO=30.即PC与平面PBD所成的角为30.8分（3）在平面PBD内作DEPO交PB于点E，连AE，则PC平面ADE.以下证明：由（1）知，AC平面PBD，ACDE，又PO、AC交于点O，DE平面PAC，DEPC，（或用三垂线定理证明）而PD平面ABCD，PDAD，又ADCD，AD平面PCD，ADPC，PC平面ADE，由AC平面PBD，过点O作OFDE于F，连AF，由三垂线定理可得，AFDE，OFA是二面角AEDB的平面角， 10分设PD=AD=a，在RtPDC中，求OF=a,而AO=a,在RtAOF中，OFA=60，即所求的二面角A
11、EDB为60. 12分20.（1）设点M（t,t2）,又f(x)=2x,过点M的切线PQ的斜率为k=2t,2分切线PQ的方程为yt2=2t(xt),即y=2txt2.4分（2）由（1）可求得P(,0),Q(6,12tt2)g(t)=SQAP=(6t)(12tt2)=t36t2+36t,(0t,6分由于g(t)=t212t+36,令g(t)0,则4t12, 又0t6,4t6,g(t)的单调递减区间为（4，6），因此m的最小值为4.8分（3）由（2）得，g(t)在（4，6）上递减，此时SQAP(g(6),g(4)=(54,64),令g(t)0,得0t4,g(t)在（0，4）上递增.此时SQAP(g
12、(0),g(4)=(0,64),又g(4)=64,函数g(t)的值域为(0,. 10分由g(t)64,得1t6,3,点P的横坐标,. 12分21.（1）设点M的坐标为(x,y)，由=,得P(0,),Q(,0),2分由=0，得（3，）(x,)=0,又得y2=4x,5分由点Q在x轴的正半轴上，得x0,所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点.6分（2）设直线l:y=k(x+1),其中k0,代入y2=4x,得k2x2+2(k22)x+k2=0,7分设A（x1,y1）,B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个实根，x1+x2=,x1x2=1,所以，线段AB的中点
13、坐标为(,),8分线段AB的垂直平分线方程为y=(x),9分令y=0,x0=+1,所以点E的坐标为(+1,0)因为ABE为正三角形，所以点E（+1,0）到直线AB的距离等于AB,而AB=,10分所以，=,11分解得k=,得x0=.12分22.（1）f1(0)=2,a1=,fn+1(0)=f1fn(0)=,an+1=an,4分数列an是首项为,公比为的等比数列，an=()n1.6分（2）T2n=a1+2a2+3a3+(2n1)a2n1+2na2n,T2n=(a1)+()2a2+()3a3+()(2n1)a2n1+()2na2n=a2+2a3+(2n1)a2nna2n,8分两式相减得T2n=a1+a2+a3+a2n+na2n,所以，T2n=+n()2n1=()2n+()2n1, 10分T2n=()2n+()2n1=(1).9T2n=1,Qn=1, 12分当n=1时，22n=4,(2n+1)2=9,9T2nQn;当n=2时，22n=16,(2n+1)2=25,9T2nQn; 13分当n3时，22n=（1+1）n2=(C+C+C+C)2(2n+1)2,9T2nQn. 14分7
