1、3.2简单几何体的体积1.将由曲线y=x,直线y=0,x=1围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为()A.1B.12C.D.2解析:所求体积为V=01 (x)2dx=01 xdx=12x2|01=2.答案:D2.将由曲线y=4-x2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是()A.643 B.10 C.323 D.11解析:4-x20,-2x2.V=-22 (4-x2)dx=-224dx-22x2dx=4x|-22-13x3|-22=323.答案:C3.将由曲线y=3x,x+y=4围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为_.解析:由y=3x,x+y=4,得曲线与直线交点的
2、坐标为(1,3),(3,1),则V=13 (4-x)2-3x2dx=13(x-4)3+9x13=83.答案:834.将由曲线y=2x2+1,直线x=1,x=2及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积为.解析:V=12 (2x2+1)2dx=12 (4x4+4x2+1)dx=45x5+43x3+x|12=52715.答案:527155.将由曲线y=3x及y=x2所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积V=_.解析:解方程组y=3x,y=x2,得交点为O(0,0),A(1,1).所求体积为两个旋转体的体积之差.V=01 (3x)2dx-01 (x2)2dx=35x53|01
3、-15x5|01=35-15=25.答案:256.若将由直线y=x+2和x=a(a0)以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为563,则a的值为_.解析:V=0a (x+2)2dx=0a (x2+4x+4)dx=13x3+2x2+4x|0a=13a3+2a2+4a=563,a3+6a2+12a=56,即(a+2)3=64,解得a=2.答案:27.将由双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=b围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的几何体的体积为_.解析:由x2a2-y2b2=1,得y2=b2x2a2-1.当y=b时,x=2a.所以所求几何体的体积为V=b222a-2a2
4、a b2x2a2-1dx=22ab2-2b2x33a2-xa2a=22ab2-2b22-23a=22-2(2-2)3ab2=82-43ab2.答案:82-43ab28.计算由直线y=0和曲线y=x2-6x+5围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.(3.14,结果精确到0.01)解:由题意知,所围成的平面图形如图中阴影部分所示,则将其绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V=15 (x2-6x+5)2dx=15 (x2-6x+5)2dx=15 (x4-12x3+46x2-60x+25)dx=15x5-3x4+463x3-30x2+25x|15107.18.9.将由直线y=x和曲线y=x2所围成的平面图形绕x轴旋转一周,求所得旋转体的体积.解:直线y=x和曲线y=x2所围成的平面图形如图中阴影部分所示.易知两个图像的交点为(0,0),(1,1),所以将该平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V=01 (x2-x4)dx=13x3-15x5|01=215.
