1、*6正态分布课时过关能力提升1.某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为f(x)=1210e-(x-80)2200(xR),则下列命题不正确的是()A.该市这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩标准差为10解析:因为=80,=10,所以A,D正确,根据3原则知C正确.答案:B2.设随机变量服从正态分布N(3,4),若P(a+2),则a的值为()A.5B.3C.73 D.53解析:由正态曲线的对称性,知2a-3+a+2=6,解得a=73
2、.答案:C3.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2X4)=0.683,则P(X4)等于()A.0.158 8B.0.158 7C.0.158 6D.0.158 5解析:P(2X4)=1-P(X4).由XN(3,1),可知该随机变量的均值为3,方差为1.故该随机变量的分布密度曲线关于直线=3对称,可得P(X4).所以P(2X4)=1-2P(X4)=0.683,解得P(X4)=0.158 5.答案:D4.设两个正态分布N(1,12)(1 0)和N( 2 22)(2 0)的密度曲线如图所示,则有()A.12,12B.12C.12,12,12解析:是均值,2是方差,是密度曲线的对称轴的位置
3、,图像越“瘦高”,数据越集中,2越小.答案:A5.已知N(0,62),且P(-20)=0.4,则P(2)等于()A.0.1B.0.2C.0.6D.0.8解析:由正态分布曲线的性质,知P(02)=0.4,所以P(-22)=0.8,所以P(2)=12(1-0.8)=0.1.答案:A6.如果随机变量XN(,2),且EX=3,DX=1,则P(0X1)等于()A.0.021 5B.0.723C.0.215D.0.64解析:EX=3,DX=2=1,XN(3,1).P(-3X+3)=P(0X6)=0.997,P(-2X+2)=P(1X5)=0.954,P(0X6)-P(1X5)=2P(0X1)=0.043.
4、P(0X1)=0.021 5.答案:A7.设随机变量XN(1,22),则Y=3X-1服从的正态分布可记为.解析:因为XN(1,22),所以=1,=2.又Y=3X-1,所以EY=3EX-1=3-1=2,DY=9DX=62.所以YN(2,62).答案:YN(2,62)8.一批灯泡的使用时间X(单位:小时)服从正态分布(10 000,4002),则这批灯泡使用时间超过10 800小时的概率是.解析:XN(10 000,4002),灯泡的使用时间在区间(10 000-2400,10 000+2400)内的概率为0.954,则不在上述范围内的概率为0.046.由曲线的对称性知,超过10 800小时的概率
5、为120.046=0.023.答案:0.0239.某地区高二女生的体重X(单位:kg)服从正态分布N(50,25),若该地区共有高二女生2 000人,则体重在区间(50,65)内的女生人数为.解析:已知=50,=5,体重在区间(50,65)内的概率为P(50X65)=12P(35X65)=12P(-3X+3)=0.9972=0.498 5.所以体重在区间(50,65)内的女生人数为2 0000.498 5=997.答案:99710.一建筑工地所需要的钢筋的长度XN(8,22),质检员在检查一大批钢筋的质量时,发现有的钢筋长度小于2米,这时,他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢,还是停下来检修切割机
6、?解:由于XN(8,22),根据正态分布的性质可知,正态分布在(8-32,8+32)之外的取值概率小于0.3%,长度小于2米的钢筋不在(2,14)内,据此质检员应让钢筋工马上停止切割,并对切割机进行检修.11.已知某种零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增加的,在80,+)上是减少的,且f(80)=182.(1)求分布密度函数;(2)估计尺寸在72 mm88 mm间的零件大约占总数的百分之几?解:(1)由于正态曲线在(0,80)上是增加的,在80,+)上是减少的,所以正态曲线关于直线x=80对称,且在x=80处取得最大值,因此得=80.即12=182,解得=8.
7、故分布密度函数解析式是f(x)=182e-(x-80)2128.(2)由=80,=8,得-=80-8=72,+=80+8=88,所以零件尺寸X位于区间(72,88)内的概率是0.682 6,因此尺寸在72 mm88 mm间的零件大约占总数的68.26%.12.生产工艺工程中产品的尺寸误差X(单位:mm)N(0,1.52),如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm为合格品,求:(1)X的密度函数;(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率.解:(1)由题意,知XN(0,1.52),即=0,=1.5,故密度函数(x)=11.52e-x24.5.(2)设Y表示5件产品中的合格品数,每件产品是合格品的概率为P(|X|1.5)=P(-1.5X1.5)=0.683,而YB(5,0.683),合格率不小于80%,即Y50.8=4,故P(Y4)=P(Y=4)+P(Y=5)=C540.6834(1-0.683)+0.68350.493 5.5