1、25 圆锥曲线的共同性质学习目标1.了解圆锥曲线的统一定义2能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题 课堂互动讲练 知能优化训练 25课前自主学案 课前自主学案 温故夯基1平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做_2平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于F1F2且不等于零)的点的轨迹叫做_3平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做_椭圆双曲线抛物线知新益能1圆锥曲线的共同性质及离心率和准线的定义圆锥曲线定义中的_就是圆锥曲线的_，定直线l就是圆锥曲线的_，常数e叫做圆锥曲线的_椭圆、双曲线、抛物线的共同性质：圆锥曲线上任
2、一点到焦点F的距离和到同侧准线l的距离之比等于离心率e.显然，椭圆的离心率满足0e1，抛物线的离心率满足e1.定点F焦点准线离心率2圆锥曲线的焦点、准线与曲线的相对位置，曲线中与坐标系无关的不变量(1)准线与曲线没有公共点(2)椭圆中长轴长 2a，短轴长 2b，离心率 eca，中心到焦点的距离 c，中心到准线的距离a2c 等都是与坐标系无关的不变量抛物线中焦点到顶点的距离p2，焦点到准线的距离 p 也都是与坐标系无关的不变量课堂互动讲练 考点突破 利用共同性质求方程平面上，动点 M 到定点 F 的距离 MF 与到定直线 l 的距离 d 之比MFd e(e 为大于零的常数)的点的轨迹是圆锥曲线，
3、当 e(0,1)时是椭圆，e1 时是抛物线，e(1，)时是双曲线【思路点拨】由点M到点F与到准线l的距离的比来确定曲线类型已知一条圆锥曲线的一个焦点是 F(1,0)，对应准线 l：x1，且曲线过点 M(3,2 3)，求圆锥曲线的方程例1【解】|MF|3122 3024，点 M到准线 l 的距离为 d|3(1)|4，|MF|d，且点 F 不在 l 上，即圆锥曲线是抛物线，其顶点在原点，焦点为 F(1,0)由p21 得 p2.故此圆锥曲线的方程是y24x.【名师点评】如果只知道某条曲线是圆锥曲线，不知道其具体的曲线类型，且已知其焦点和相应准线，那么在求其方程时，可设出离心率 e，根据|MF|d e
4、设出方程，然后利用其他条件求 e，从而得出圆锥曲线的方程自我挑战 1 一动点到定直线 x3 的距离是它到定点 F(4,0)的距离的12，求这个动点的轨迹方程解：设动点的坐标为(x，y)由题意得 eca2.由圆锥曲线的统一定义得x42y2|x3|2，整理得 3x832y243，所以所求轨迹方程为x83249y2431.与圆锥曲线有关的最值问题形如 MA1eMF 的最小值的求法是利用圆锥曲线的统一定义将 MA1eMF 转化为 MAd.例如 MA1eMF(A 是椭圆内部一定点，F 是椭圆的一个焦点)的最值是利用椭圆的第二定义进行转化如图，已知点 A(1,2)在椭圆x216y2121 内，F 的坐标为
5、(2,0)，在椭圆上求一点 P，使|PA|2|PF|最小.例2【思路点拨】直接求解比较困难，不防将|PF|转化为点P到准线的距离【解】a216，b212，c24，即 c2.F 为椭圆的右焦点，并且离心率为 e12.设 P 到右准线的距离为 d，则|PF|12d，d2|PF|.|PA|2|PF|PA|d.由几何性质可知，当 P 点的纵坐标(横坐标大于零)与 A 点的纵坐标相同时，|PA|d 即|PA|2|PF|最小把 y2 代入x216y2121，得 x4 63(负值舍去)，即 P4 63，2 为所求【名师点评】本类题是圆锥曲线中求最值的一类典型问题，解题的方法也是相通的，都是利用定义实现转化圆
6、锥曲线上的点与焦点连线时，焦半径对应的问题常应用统一定义来解决圆锥曲线的焦点弦问题是常见的一类弦长问题，可以用一般弦长公式求解，但更好的方法是利用焦点弦特有的公式进行计算，焦点弦公式为ABAFBFe(AA1BB1)，其中AA1，BB1为弦的两端点到准线的距离圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题【思路点拨】设点P(x，y)，由焦半径公式求出x.(本题满分 14 分)已知椭圆x225y2161，P 为椭圆上任意一点，F1，F2 为左、右两个焦点，若|PF1|PF2|21，求点 P 的坐标例3【规范解答】设点 P 的坐标为(x，y)椭圆x225y2161，a5，b4，c3.e35，准线方程为 x253.6
7、分由圆锥曲线的统一定义知|PF1|ed135x253 35x5，|PF2|ed235253 x 535x.8 分|PF1|PF2|21，35x5 535x 21，解得 x259，代入椭圆的方程得 y8914.12 分 点P的 坐 标 为259，89 14 或259，89 14.14 分【名师点评】利用焦半径公式，将圆锥曲线上任意一点的坐标与几何等式联系在一起自我挑战 2 已知椭圆x216y291，P 为椭圆上任意一点，F 为左焦点，求|PF|的取值范围解：设点 P 的坐标为(x，y)椭圆x216y291.a4，b3，c 7.由圆锥曲线的统一定义知|PF|ed174 x167 4 74 x，x4
8、,4，|PF|4 7，4 7故|PF|的取值范围是4 7，4 71圆锥曲线的统一定义(1)三种圆锥曲线具有相同的产生方法，即|MF|d e(e0)，只是由于 e 的不同，区分出三类圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线方法感悟(2)对于椭圆和双曲线都有两个焦点、两条准线，一定要注意圆锥曲线上的点M到相应焦点与到相应准线的距离的比才是常数e.例如：对于焦点在x轴上的椭圆，其上任意一点到左焦点F1与到左准线l1的距离的比是常数e，到右焦点F2与到右准线l2的距离的比也是常数e，但到左焦点F1与到右准线l2的距离的比不是常数e；对于双曲线也是这样，双曲线左支上的点只满足到左焦点F1与到左准线l1的距离的比是
9、常数e，双曲线右支上的点只满足到右焦点F2与到右准线l2的距离的比是常数e.(3)圆锥曲线的准线总是垂直于其焦点所在的对称轴(4)无论平面直角坐标系怎样建立，有关圆锥曲线的基本量是不会改变的对于椭圆和双曲线(如图所示)，两条准线之间的距离为2a2c，焦点到相应准线的距离为 dca2c c2a2cb2c，顶点到相应焦点与到相应准线的距离的比为 e|A1F1|A1K|.(5)有一个焦点和相应准线及常数 e，就可以确定一个圆锥曲线2焦点弦与通径(1)对于椭圆x2a2y2b21(ab0)，过左焦点的弦长公式为 AB2ae(x1x2)，过右焦点的弦长公式为 AB2ae(x1x2)(2)对于双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，过左焦点的弦长公式为 AB2ae(x1x2)，过右焦点的弦长公式为 ABe(x1x2)2a.(3)对于抛物线 y22px(p0)，焦点的弦长公式为 ABx1x2p.(4)通径是最短的焦点弦知能优化训练
