1、课时训练 10 等差数列前 n 项和的性质与应用一、等差数列前 n 项和性质的应用1.等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 S2=2,S4=10,则 S6等于()A.12B.18C.24D.42答案:C解析:S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,即 2,8,S6-10 成等差数列,S6=24.2.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为()A.5B.4C.3D.2答案:C解析:由题意得 S 偶-S 奇=5d=15,d=3.或由解方程组 求得 d=3,故选 C.3.等差数列an的前 n 项和为 Sn,a1=-2 015,=2,则 S2 015=()A
2、.2 015B.-2 015C.0D.1答案:B解析:由等差数列前 n 项和性质可知,数列 是等差数列,设公差为 d,则 =2d=2,所以 d=1.所以 +2 014d=-2 015+2 014=-1,所以 S2 015=-2 015.二、等差数列前 n 项和中的最值问题4.设 Sn是公差为 d(d0)的无穷等差数列an的前 n 项和,则下列命题中错误的是()A.若 d0,则数列Sn有最大项B.若数列Sn有最大项,则 d0D.若对任意 nN*,均有 Sn0,则数列Sn是递增数列答案:C解析:由等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+n(n-1)d=n2+(-)n 知,Sn对应的二次函数有最大
3、值时d0.故若 d0,则 a10,d0,Sn必为递增数列,D 正确.而对于 C 项,令 Sn=n2-2n,则数列Sn递增,但 S1=-10.C 不正确.5.(2015 河南南阳高二期中,10)已知数列an为等差数列,若 0 的 n 的最大值为()A.21B.20C.19D.18答案:C解析:由 -1,可得 0,由它们的前 n 项和 Sn有最大值可得数列的公差 d0,a11+a100,a110,a1+a20=a11+a100 的 n 的最大值 n=19.故选 C.6.设数列an为等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意 nN*,都有SnSk
4、成立,则 k 的值为()A.22B.21C.20D.19答案:C解析:对任意 nN*,都有 SnSk成立,即 Sk为 Sn的最大值.因为 a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,所以 a4=33,a5=31,故公差 d=-2,an=a4+(n-4)d=41-2n,则 n=1 时,a1=39,所以 Sn=n2+(-)n=-n2+40n=-(n-20)2+400,即当 n=20 时 Sn取得最大值,从而满足对任意 nN*,都有 SnSk成立的 k 的值为 20.7.设等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S2 0140,S2 0150,则当 n=时,Sn最大.答案:1 007解析:由等差
5、数列的性质知,S2 015=2 015a1 0080,所以 a1 0080,所以 a1 007+a1 0080,而 a1 0080.因此当 n=1 007 时,Sn最大.8.已知数列an,anN*,前 n 项和 Sn=(an+2)2.(1)求证:an是等差数列;(2)设 bn=an-30,求数列bn的前 n 项和的最小值.(1)证明:由已知得 8Sn=(an+2)2,则 8Sn-1=(an-1+2)2(n2),两式相减,得 8an=(an+2)2-(an-1+2)2,即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.因为 anN*,所以 an+an-10,所以 an-an-1=4(n2),故数列
6、an是以 4 为公差的等差数列.(2)解:令 n=1,得 S1=a1=(a1+2)2,解得 a1=2.由(1)知 an=2+(n-1)4=4n-2,所以 bn=an-30=2n-31.由 bn=2n-310,得 n0.设数列bn的前 n 项和为 Tn,则 T15最小,其值为 T15=15(-29)+2=-225.三、与数列|an|前 n 项和有关的问题9.已知数列an的通项公式 an=5-n,则当|a1|+|a2|+|an|=16 时,n=.答案:8解析:由 an=5-n,可得 n0;n=5 时,a5=0;n5 时,an0,而 a1+a2+a5=10,|a1|+|a2|+|an|=(a1+a2
7、+a5)-(a6+a7+an)=16.20+-=16,解得 n=8.10.在公差为 d 的等差数列an中,已知 a1=10,且 5a3a1=(2a2+2)2.(1)求 d,an;(2)若 d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解:(1)因为 5a3a1=(2a2+2)2,所以 d2-3d-4=0,解得 d=-1 或 d=4.故 an=-n+11 或 an=4n+6.(2)设数列an的前 n 项和为 Sn.因为 d0,a6+a70,a6a70 成立的最大自然数 n 是()A.11B.12C.13D.14答案:B解析:a6+a7=a1+a12,S12=6(a6+a7)0.由已知得 a60
8、,a70,又 S13=13a70 成立的最大自然数 n 为 12,故选 B.5.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 Sn=1,S3n-Sn=5,则 S4n=()A.4B.6C.10D.15答案:C解析:由 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等差数列,设公差为 d,则 S2n-Sn=Sn+d,S3n-S2n=Sn+2d.S3n-Sn=2Sn+3d=5.又Sn=1,d=1.S4n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)+(S4n-S3n)=1+2+3+4=10.6.等差数列an前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k=.答案:10解析:S
9、9=S4,a5+a6+a7+a8+a9=0,a7=0,从而 a4+a10=2a7=0,k=10.7.等差数列前 12 项和为 354,在前 12 项中的偶数项的和与奇数项的和之比为 3227,则公差d=.答案:5解析:由已知 奇 偶 偶 奇 解得 偶 奇 又此等差数列共 12 项,S 偶-S 奇=6d=30.d=5.8.等差数列an与bn,它们的前 n 项和分别为 An,Bn,若 -,则 =.答案:解析:-.9.在等差数列an中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时,Sn有最大值,并求出它的最大值.解:设等差数列an的公差为 d,a1=20,S10=S
10、15,10a1+d=15a1+d.解得 d=-.解法一:由以上得 an=20-(n-1)=-n+.由 an0 得-n+0,n13.所以数列前 12 项或前 13 项的和最大,其最大值为 S12=S13=12a1+d=130.解法二:由以上得 Sn=20n+-(-)=-n2+n+20n=-n2+n=-(n2-25n)=-(-).当 n=12 或 13 时,Sn最大,最大值为 S12=S13=130.10.等差数列an中,a1=-60,a17=-12,求数列|an|的前 n 项和.解:等差数列an的公差 d=-=3,an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)3=3n-63.由 an0,得 3n-630,即 n20 时,Sn=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+-3-2(-)=n2-n+1 260.数列|an|的前 n 项和为Sn=-
