1、高三年级数学试题说明：1.考试时间120分钟，满分150分.2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效.第I卷（选择题，共60分）一单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，则在复平面内，其共轭复数所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D2. 已知非零向量的夹角余弦值为，且，则（ ）A. 2B. C. D. 1【答案】A3. 已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】C4.
2、已知等差数列的公差不为且成等比数列，则下列选项中错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D5. 已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B6. 如图，圆内接四边形中，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C7. 如图，在平行四边形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C8. 已知函数，若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】C二多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项
3、中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9. 下列命题中真命题有（ ）A. 集合，若，则实数的取值集合为B. 数列的前项和为，若，则C. 若定义域为的函数是奇函数，函数为偶函数，则D. 若分别表示的面积，则【答案】CD10. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法错误的是（ ）A. 线段为平面外的线段，若两点到平面的距离相等，则B. 若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等C. 若，则D. 若，则【答案】ABC11. 折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，点在弧上，
4、且，点在弧上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ）A. 在方向上的投影向量为B. 若，则C. D. 的最小值是【答案】ABD12. 如图，在菱形中，为的中点，将沿直线翻折到的位置，连接和为的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是（ ）A. 面面B. 线段长度的取值范围为C. 直线和所成的角始终为D. 当三棱锥的体积最大时，点在三棱锥外接球的外部【答案】AC第II卷（非选择题，共90分）三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，且与的夹角为锐角，则的取值范围是_【答案】14. 在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱、两两夹角都为，且，、分别为、的中点，则与所成角的余弦值为
5、_.【答案】15. 已知双曲线的左右顶点分别为，抛物线与双曲线交于两点，记直线，的斜率分别为，则为_.【答案】#16. 如图，在棱长均为的正四面体中，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则的最小值是_.【答案】四解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在中，角的对边分别是，满足，过作于点，点为线段的中点.（1）求；（2）求的值.【答案】（1） （2）【小问1详解】依题意，解得【小问2详解】由余弦定理得，解得，所以.18. 已知数列的前项和为，等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列前项和.【答案】（1）， （2）【小问1详解】当时，；
6、当时，当时也符合，所以.由题意，设等差数列的公差为d，则，故.综上，【小问2详解】由（1）知：， 得：即：，.19. 为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.（1）类比此解法，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为，求此四面体的体积；（2）已知对棱分别相等的四面体称为等腰四面体.小明同学在研究等腰四面体（设）时，给出如下结论：等腰四面体的外接球半径为；等腰四面体的四个面可以都为直角三角形.聪明的同学们，你认为小明同学研究的结论正确吗？给出理由.【答案】（1）24 （2）正确；错误；理由见解析【小问1详解】如
7、图，长方体中的四面体是对棱相等的四面体，其中，设，则，解得：，则， 【小问2详解】设长方体同一顶点的三条棱长分别为，由（1）可知，即，等腰四面体的外接球就是所在长方体的外接球，所以，则，故正确；假设4个面都是直角三角形，设，则是直角三角形和的斜边，取的中点，连结，则，那么，三点共线，此时，不能构成四面体，所以等腰四面体的四个面不能都是直角三角形，故错误.20. 已知椭圆的左右顶点分别，上顶点为，的长轴长比短轴长大4.（1）求椭圆的方程；（2）斜率存在且不为0的直线交椭圆于两点（异于点），且，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1） （2）证明过程见详解【小问1详解】由题意知：，因为为
8、锐角，故，由题意知：，解得：，故椭圆方程为.【小问2详解】根据题意，设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立可得：，则，即.设，则，.因为，根据向量加法与减法的几何意义可得：，则，因为，所以，也即，整理化简可得：，解得：或，此时均满足，当时，直线的方程为，过定点；当时，直线的方程为，过定点，此时定点与点重合，故舍去，综上，直线恒过定点，定点坐标为.21. 如图1，在边长为4的菱形中，点分别是边，的中点，.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.（1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；（2）当四棱锥体积最大时，求点到面的距离；（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平
9、面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）总有平面平面，证明详见解析 （2） （3）存在，是的中点，理由见解析.【小问1详解】折叠前，因为四边形是菱形，所以，由于分别是边，的中点，所以，所以，折叠过程中，平面，所以平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小问2详解】当平面平面时，四棱锥体积最大，由于平面平面，平面，所以平面，由于平面，所以，由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知，设平面的法向量为，则，故可设，所以到平面的距离为.【小问3详解】存在，理由如下：，设，则，平面的法向量为，设平面的法向量为，则，故可设，设平面与平面所成角为，由于平面与平面所成角余弦值为，所以，解得或（舍去），所以当是的中点时，平面与平面所成角的余弦值为.22. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）单调性见解析 （2）【小问1详解】由题意知：的定义域为，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令有，故当，则；若，则；在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】当时，；，；恒成立，不合题意；当时，取，则，符合题意；当时，若，使得，则；由（1）知：；，在上单调递增，即，解得：；综上所述：实数的取值范围为.
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