1、复习课(三)概率查漏补缺 巩固提高考点一 互斥事件和对立事件的概率互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系在一次试验中，两个互斥事件最多只发生一个；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥若事件 A1，A2，An 彼此互斥，则 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和
2、；二是先求其对立事件的概率，若 A 与 B 互为对立事件，则利用公式 P(A)1P(B)求解【典例 1】黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：血型ABABO该血型的人所占比例(%)2829835已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是 B 型血，若张三因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？解(1)对任一人，其血型为 A，B，AB，O 的事件分别记为 A，B，C，D，由已知，有 P(A)0.28，P(B)0.29，P(C)0.08，P(D)0.35，因为 B，O 型血
3、可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件 BD.依据互斥事件概率的加法公式，有 P(BD)P(B)P(D)0.290.350.64.(2)解法一：由于 A，AB 型血不能输给 B 型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件 AC，依据互斥事件概率的加法公式，有 P(AC)P(C)P(A)0.280.080.36.解法二：因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有 P(AC)1P(BD)1P(B)P(D)10.640.36.在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手
4、，这时，可以利用对立事件求解针对训练1甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 5 个不同题目，选择题 3 个，判断题 2 个，甲、乙两人各抽一题(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解 把 3 个选择题记为 x1，x2，x3,2 个判断题记为 p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共 6 种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(
5、p2，x3)，共 6 种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共 6 种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共 2 种因此基本事件的总数为 666220.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为 620 310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为 620 310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为 310 31035.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为 220 110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为 1 110 910.
6、考点二 古典概型古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件个数 n 与事件 A 中包含的结果数 m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式 P(A)mn求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏【典例 2】一辆小客车上有 5 个座位，其座位号为 1,2,3,4,5，乘客 P1，P2，P3，P4，P5 的座位号分别为 1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客 P1 因身体原因没有
7、坐自己的 1 号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座，如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这 5 个座位的剩余空位中任意选择座位(1)若乘客 P1 坐到了 3 号座位，其他乘客按规则就座，此时共有 4 种坐法，下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表格空格处)；(2)若乘客 P1 坐在了 2 号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客 P5 坐到 5 号座位的概率乘客P1P2P3P4P5座位号3214532451解(1)余下两种坐法如下表所示：乘客P1P2P3P4P5座位号3241532541(2)若乘客 P1 坐到了 2 号座位
8、，其他乘客按规则就坐则所有可能的坐法可用下表表示为：乘客P1P2P3P4P5座位号2134523145234152345123541243152435125341于是，所有可能的坐法共 8 种设“乘客 P5 坐到 5 号座位”为事件 A，则事件 A 中的基本事件的个数为 4.所以 P(A)4812.乘客 P5 坐到 5 号座位的概率是12.针对训练2现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2,3,4”，第二组卡片上分别写有数字“3,4,5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为()A.13B.49C.59D.23解析 抽取卡片上
9、的数字的所有可能为(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,3)，(3,4)，(3,5),(4,3)，(4,4)，(4,5)，共 9 种可能，其中第一组数字减去第二组数字的差为负数的有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 6 种可能，故其概率为 P6923.故选 D.答案 D考点三 几何概型 若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于其结果的无限性，概率就不能应用 P(A)mn求解，而需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想【典例 3】已知关于 x 的一元二次方程 x22(a
10、2)xb2160.(1)若 a、b 是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；(2)若 a2,6，b0,4，求一元二次方程没有实数根的概率解(1)基本事件(a，b)共有 36 个，且 a，b1,2,3,4,5,6，方程有两个正实数根等价于a20,16b20，0，即 a2，4b4，(a2)2b216.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A 所包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共 4 个，故所求的概率为 P(A)43619.(2)试验的全部结果构成区域(a，b)|2a6,0b4，设“一元二次方程无实数根”为事件 B，则构成事件 B 的区
11、域为 B(a，b)|2a6,0b4，(a2)2b216，如图可知构成事件 的区域面积为 S()16.构成事件 B 的区域面积为：S(B)14424，故所求的概率为 P(B)4164.几何概型问题的解题方法(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用 P(A)mn求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题针对训练3将长为 l 的绳子随机剪成三段，求三段能构成三角形的概率解 记事件 A 为“三段能构成三角形”，如图设 x，y 分别表示其中两段的长度，则第三段
12、的长度为 lxy.则试验的全部结果可构成区域：(x，y)|0 xl,0yl,0 xylxyxyl2，xlxyyyxxl2，yl2，xn 的概率是()A0.3 B0.6 C0.7 D0.8解析 画出图形(如图所示)，m，n 所满足的区域为矩形 ABCD，而 mn 所满足的区域为梯形 ABCE，所以 mn 的概率 PS梯形ABCES矩形ABCD159215 0.7.故选 C.答案 C8.如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自ABE 内部的概率等于()A.14B.13C.12D.23解析 不妨设矩形的长、宽分别为 a、b，于是
13、S 矩形ab，SABE12ab，由几何概型的概率公式可知 PSABES矩形 12.答案 C9.三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明右图是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股之弦为边的正方形，其面积称为弦实弦图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用 2勾股(股勾)24朱实黄实弦实，化简得勾 2股 2弦 2.设勾股形中勾股比为 13，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉大约为(注：31.732)()A134 颗B268 颗C402 颗D536 颗解析 设勾为 a，则股为 3a，弦为 2
14、a，则图中大正方形的面积为 4a2，小正方形的面积为(31)2a2(42 3)a2，由几何概型知，图钉落在黄色图形内的概率为42 3a24a21 32，所以落在黄色图形内的图钉大约有 10001 32 134(颗)答案 A10.如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是()A.25B.710C.45D.910解析 设被污损的数字是 x，则 x0,1,2,3,4,5,6,7,8,9甲的平均成绩为 x 甲15(8889909192)90，x 乙15838387(90 x)99442x5，设甲的平均成绩超过乙的平均成绩为
15、事件 A，则此时有 90442x5，解得 x8，则事件 A 包含 x0,1,2,3,4,5,6,7，共 8 个基本事件，则 P(A)81045.答案 C11在区间(0,1)内任取一个数 a，能使方程 x22ax120 有两个相异实根的概率为()A.12B.14C.22D.2 22解析 方程有两个相异实根的条件是(2a)241124a220，解得|a|22，又 a(0,1)，所以 22 a1，区间22，1 的长度为 1 22，而区间(0,1)的长度为 1，所以方程有两个相异实根的概率为1 2212 22.答案 D12如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件 A)的概率
16、为14，取到方片牌(事件 B)的概率是13，则取到红色牌(事件 C)的概率和取到黑色牌(事件D)的概率分别是()A.712，512B.512，712C.12，12D.34，23解析 因为 CAB，且 A，B 不会同时发生，即 A，B 是互斥事件，所以 P(C)P(A)P(B)1413 712.又 C，D 是互斥事件，且 CD 是必然事件，所以 C，D 互为对立事件，则 P(D)1P(C)1 712 512.答案 A第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，3 为公比
17、的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是_解析 由题意得 an(3)n1，易知前 10 项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于 8的项为第一项和偶数项，共 6 项，即 6 个数，所以 p 61035.答案 3514从某校高二年级的所有学生中，随机抽取 20 人，测得他们的身高分别为：(单位：cm)162,148,154,165,168,172,175,162,171,170,150,151,152,160,163,175,164,179,149,172.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在 155.5 cm170.5 cm 之间的概率
18、为_(用分数表示)解析 样本中有 8 人身高在 155.5 cm170.5 cm 之间，所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在 155.5 cm170.5 cm 之间的概率为 82025.答案 2515甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为 a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为 b，且 a、b0,1,2，9若|ab|1，则称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为_解析 此题可化为任意从 09 中取两数(可重复)共有 1010100 种取法若|ab|1 分两类，当甲取 0 或 9 时，乙只能猜 0、1 或 8、9 共 4 种，当甲取 18 中的任一数
19、字时，分别有 3 种选择，共 3824 种，P 2441010 725.答案 72516随机向边长为 2 的正方形 ABCD 中投一点 M，则点 M 与 A 的距离不小于 1 且使CMD 为锐角的概率是_解析 如图所示，M 在阴影部分内，则P2214121212221316.答案 1316三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)随机地排列数字 1,5,6 得到一个三位数，计算下列事件的概率(1)所得的三位数大于 400；(2)所得的三位数是偶数解 1,5,6 三个数字可以排成 156,165,516,561,615,6
20、51，共 6 个不同的三位数(1)大于 400 的三位数的个数为 4，所以 P4623.(2)三位数为偶数的有 156,516，共 2 个，所以相应的概率为 P2613.18(本小题满分 12 分)在区间，内随机取两个数分别记为 a，b，求使得函数 f(x)x22axb2 有零点的概率解 因为 a，b 为，内的两个随机数，所以(a，b)在边长为 2 的正方形边上及内部要使函数 f(x)x22axb2 有零点，需 4a24b240，即 a2b2，a2b2 表示以原点为圆心，为半径的圆的圆周及外部，且在正方形的内部，所以其面积为 42232，所以函数有零点的概率为324234.19(本小题满分 1
21、2 分)在圆 O：x2y21 的某一直径上随机地取一点 Q.试求过点 Q 且与该直径垂直的弦的长度不超过 1 的概率解 如图所示：记事件过点 Q 且与该直径垂直的弦的长度超过 1 为 A.设 EF1 则在 RtOQE 中，OE2OQ2QE2,1OQ214，OQ 32.由几何概型的概率公式得 P(A)32 22 32.而过点 Q 且与该直径垂直的弦的长度不超过 1 的概率为 1 32.20(本小题满分 12 分)某河流上的一座水力发电站，每年 6 月份的发电量 y(单位：万千瓦时)与该河上游在 6 月份的降雨量 x(单位：mm)有关据统计，当 x70 时，y460；x 每增加 10，y 增加 5
22、.已知近 20 年 x 的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近 20 年 6 月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率0.050.20.1(2)将频率视为概率，试估计今年 6 月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时或超过530 万千瓦时的概率解(1)在所给数据中，降雨量为 110 mm 的有 3 个，为 160 mm 的有 7 个，为 200 mm的有 3 个故近 20 年 6 月份降雨量频率分布表为：降雨量
23、70110140160200220频率0.050.150.20.350.150.1(2)由已知可得 y0.5x425，记“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”为事件 A，则 P(A)P(y530)P(x210)P(x70)P(x110)P(x220)0.050.150.10.3.因此估计今年 6 月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时的概率为 0.3.21(本小题满分 12 分)先后 2 次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为 a，b.(1)求直线 axby50 与圆 x2y21 相切的概率；(2)将 a，b,5 的值分别作为三条线段的长，求这三
24、条线段能围成等腰三角形的概率解 先后 2 次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为 a，b 包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(6,5)，(6,6)，共 36 个(1)直线 axby50 与圆 x2y21 相切，5a2b21，整理得：a2b225.由于 a，b1,2,3,4,5,6，满足条件的情况只有 a3，b4，或 a4，b3 两种情况直线 axby50 与圆 x2y21 相切的概率是 236 118.(2)三角形的一边长为 5，三条线段围成等腰三角形，当 a1 时，b5，共 1 个基本事件；当 a2 时，b5，共 1 个基本事
25、件；当 a3 时，b3,5，共 2 个基本事件；当 a4 时，b4,5，共 2 个基本事件；当 a5 时，b1,2,3,4,5,6，共 6 个基本事件；当 a6 时，b5,6，共 2 个基本事件；满足条件的基本事件共有 11226214 个三条线段能围成等腰三角形的概率为1436 718.22(本小题满分 12 分)设 O 为坐标原点，点 P 的坐标为(x2，xy)(1)在一个盒子中，放有标号为 1,2,3 的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽取两张卡片，其标号分别记为 x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；(2)若利用计算机随机在0,3上先后取两个数分别记为 x，
26、y，求 P 点在第一象限的概率解(1)记抽到的卡片标号为(x，y)，所有的情况分别为，(x，y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)P(x2，xy)(1,0)(1，1)(1，2)(0,1)(0,0)|OP|12510 (x，y)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)P(x2，xy)(0，1)(1,2)(1,1)(1,0)|OP|1521所以|OP|的最大值为 5.设事件 A 为“|OP|取到最大值”，则满足事件 A 的(x，y)有(1,3)，(3,1)两种情况，所以P(A)29.(2)设事件 B 为“P 点在第一象限”若0 x30y3，则其所表示的区域面积为 339.由题意可得
27、事件 B 满足0 x30y3x20 xy0.即如图所示的阴影部分，其区域面积为 13121152，所以 P(B)529 518.综合质量检测本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为 5 的学生作业进行检查，这里运用的是()A分层抽样B抽签抽样C随机抽样D系统抽样解析 号码顺序以一定的间隔抽取，这样的抽样是系统抽样答案 D2下列程序的含义是()A求方程 x33x224x
28、300 的根B求输入 x 后，输出 yx33x224x30 的值C求一般三次多项式函数的程序D作 yx33x224x30 的作图程序解析 由程序知，输入 x 后，输出 yx33x224x30 的值，应选 B.答案 B3.奥林匹克会旗中央有 5 个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲在手工课上，老师将这 5 个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得 1 个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是()A对立事件B不可能事件C互斥但不对立事件D不是互斥事件解析 甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或
29、乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件答案 C4把“二进制”数 101101(2)化为“八进制”数是()A40(8)B45(8)C50(8)D55(8)解析 101101(2)1250123122012045(10)再利用“除 8 取余法”可得：45(10)55(8)故选 D.答案 D5设某中学的高中女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2,3，n)，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y0.85x85.71，则下列结论中不正确的是()Ay 与 x 具有正线性相关关系B回归直线过点(x，y)C若该中学某高中女生
30、身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kgD若该中学某高中女生身高为 160 cm，则可断定其体重必为 50.29 kg解析 由回归直线方程定义知：因为斜率大于零，所以 y 与 x 具有正线性相关关系；回归直线过点(x，y)；身高每增加 1 cm，则其体重约增加 k0.85 kg；身高为 160 cm，则可估计其体重为 0.8516085.7150.29 kg，但不可确定选 D.答案 D6关于统计数据的分析，有以下几个结论：一组数不可能有两个众数；将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；调查剧院中观众的观看感受时，从 50 排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查，属
31、于分层抽样；一组数据的方差一定是正数；如图所示是随机抽取的 200 辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在50,60的汽车大约是 60 辆则这五种说法中错误的个数是()A2 B3C4 D5解析 一组数中可以有两个众数，故错；根据方差的计算法可知正确；属于简单随机抽样，错误；错误，因为方差可以是零；正确故错误的说法有 3 个答案 B7执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 3，则可输入的实数 x 值的个数为()A1 B2C3 D4解析 若 x2，则 x213，x2.若 x2，则 log2x3，x8.故选 C.答案 C8如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在 3 处
32、，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在 5 处，跳动一次，只能进入 3 处，若在 3 处，则跳动一次可以等机会地进入1,2,4,5 处)，则它在第三次跳动后，首次进入 5 处的概率是()A.12B.14C.316D.16解析 按规则，小青蛙跳动一次，可能的结果共有 4 种，跳动三次，可能的结果共有16 种，而三次跳动后首次跳到 5 的只有 3135,3235,3435,3 种可能，所以，它在第三次跳动后，首次进入 5 处的概率是 316.答案 C9某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 s 与 19 s 之间，将测试结果分成如下六组：13,14)，14,15)，1
33、5,16)，16,17)，17,18)，18,19如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于 17 s 的学生人数占全班人数的百分比为 x，成绩在15,17)中的学生人数为 y，则从频率分布直方图中可以分析出 x 和 y 分别为()A90%,35B90%,45C10%,35D10%,45解析 易知成绩小于 17 s 的学生人数占全班人数的百分比为1(0.040.06)1100%90%，成绩在15,17)中的学生的频率为(0.360.34)10.7，人数为 500.735 人答案 A10某地区 2011 年至 2017 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位：千元)的数据如下表：年份201
34、1201220132014201520162017年份代号 t1234567人均纯收入 y2.93.33.64.44.85.25.9若 y 关于 t 的线性回归方程为y0.5ta，则据此该地区 2021 年农村居民家庭人均纯收入约为()A6.3 千元B7.5 千元C6.7 千元D7.8 千元解析 由所给数据计算得，t 17(1234567)4，y 17(2.93.33.64.4 4.85.25.9)4.3，a y bt 4.30.542.3，所求回归方程为y0.5t2.3.将 2021 年的年份代号 t11 代入回归方程，得y0.5112.37.8，故预测该地区 2021 年的农村居民家庭人均
35、纯收入为 7.8 千元故选 D.答案 D11将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为 a，第二次朝上一面的点数为 b，则函数 yax22bx1 在，12 上为减函数的概率是()A.14B.34C.16D.56解析 由题意，函数 yax22bx1 在，12 上为减函数满足条件ba12.第一次朝上一面的点数为 a，第二次朝上一面的点数为 b，a 取 1,2 时，b 可取 1,2,3,4,5,6；a 取 3,4 时，b 可取 2,3,4,5,6；a 取 5,6 时，b 可取 3,4,5,6，共 30 种将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，共有 6636 种等可能发生的结果，所求概率为
36、303656.故选 D.答案 D12为了调查某厂 2000 名工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为10,15)，15,20)，20,25)，25,30)，30,35，频率分布直方图如图所示工厂规定从生产低于 20 件产品的工人中随机地选取 2 位工人进行培训，则这 2 位工人不在同一组的概率是()A.110B.715C.815D.1315解析 根据频率分布直方图，可知产品件数在10,15)，15,20)内的人数分别为50.02202,50.04204.设生产产品件数在10,15)内的 2 人分别是 A，B，生产产品件数在15,20)内的 4
37、 人分别为 C，D，E，F，则从生产低于 20 件产品的工人中随机地选取 2位工人的结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 15 种.2 位工人不在同一组的结果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共 8 种故选取的 2 位工人不在同一组的概率为 815.答案 C第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13某
38、学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 34，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取_名学生解析 由已知，高二人数占总人数的 310，所以抽取人数为 3105015.答案 1514在正方形围栏内均匀散布着米粒，一只小鸡在其中随意啄食，则此刻小鸡正在正方形的内切圆中啄食的概率为_解析 设正方形的边长为 1，则其内切圆的半径 r12，S 正方形1，S 内切圆r24，所求概率 PS内切圆S正方形414.答案 415已知一个 5 次多项式为 f(x)4x53x32x25x1，用秦九韶算法求这个多项式当x3 时的值为_解析 由 f(x)(4x0)x
39、3)x2)x5)x1，v04，v143012，v2123333，v33332101，v410135308，v530831925，故这个多项式当 x3 时的值为 925.答案 92516某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：队员123456三分球个数a1a2a3a4a5a6下图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填_，输出的 s_.解析 由题意可知，程序框图是要统计 6 名队员投进的三分球的总数，由程序框图的循环逻辑知识可知，判断框应填 i6？，输出的结果就是 6 名队员投进的三分球的总数，而6 名队员投进的三分球数分别为
40、a1，a2，a3，a4，a5，a6，故输出的 sa1a2a6.答案 i6？(i7？)a1a2a3a4a5a6三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求 40 名工人完成生产任务所需时
41、间的中位数 m.解(1)第二种生产方式的效率更高，理由如下：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟因此第二种生产方式的效率更高由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟因此第二种生产方式的效率更高由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高由茎
42、叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高(以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)(2)由茎叶图知 m7981280.18(本小题满分 12 分)为了了解某地区高二年级男生的身高情况，从该地区中的一所高级中学里选取容量为 60 的样本
43、(60 名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下：(1)求出表中 a，m 的值；(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图解(1)因为m600.1，即 m6，又a6062166027600.45，所以 a0.45，m6.(2)身高在 151.5158.5 的频率为 660 1100.1，身高在 158.5165.5 的频率为2160 7200.35.根据频率分布表画出频率分布直方图和折线图如图19(本小题满分 12 分)一个包装箱内有 6 件产品，其中 4 件正品，2 件次品现随机抽出两件产品(1)求恰好有一件次品的概率；(2)求都是正品的概率；(3)求抽到次品的概率解 将 6 件产品编号，ab
44、cd(正品)，ef(次品)，从 6 件产品中选 2 件，其包含的基本事件为 ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共 15 种(1)设恰好有一件次品为事件 A，事件 A 包含的基本事件为 ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，共有 8 种，则 P(A)815.(2)设都是正品为事件 B，事件 B 包含的基本事件数为 6，则 P(B)61525.(3)设抽到次品为事件 C，事件 C 与事件 B 是对立事件，则 P(C)1P(B)12535.20(本小题满分 12 分)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行
45、研究，他们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3 月 1 日3 月 2 日3 月 3 日3 月 4 日3 月 5 日温差 x()101113128发芽数 y(颗)2325302616(1)请根据 3 月 2 日至 3 月 4 日的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程ybxa；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？解(1)x 12，y 27，i24xiyi977，i24x2i434，bi24xiy
46、i3 xyi24x2i3 x 297731227434312252，a y bx 2752123.故所求的线性回归方程为 y52x3.(2)当 x10 时，y5210322；当 x8 时，y528317，与检验数据的误差都是 1，满足题意，故认为(1)中所得的线性回归方程是可靠的21(本小题满分 12 分)把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位：米)进行整理，分成以下 6 个小组：5.25,6.15)，6.15,7.05)，7.05,7.95)，7.95,8.85)，8.85,9.75)，9.75,10.65，并绘制出频率分布直方图，如下图所示是这个频率分布直方图的一部分已知从左到右前 5 个小
47、组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第 6 小组的频数是 7.规定：投掷成绩不小于 7.95米的为合格(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数；(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组？请说明理由；(3)若参加这次铅球投掷的学生中，有 5 人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出 2 人参加相关部门组织的经验交流会，已知 a、b 两位同学的成绩均为优秀，求 a、b 两位同学中至少有 1 人被选到的概率解(1)第 6 小组的频率为 1(0.040.100.140.280.30)0.14.参加这次铅球投掷的总人数为 70.1450，根据规定，第 4、5
48、、6 组的成绩均为合格，人数为(0.280.300.14)5036.(2)成绩在笫 1、2、3 组的人数为(0.040.100.14)5014，成绩在第 5、6 组的人数为(0.300.14)5022，参加这次铅球投掷的总人数为 50，这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在7.95,8.85)内，即第 4 组(3)设这次铅球投掷成绩优秀的 5 人分别为 a、b、c、d、e，则选出 2 人的所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共 10 种，其中 a、b 至少有 1 人的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共有 7 种，a、b 两位同学中至少有
49、1 人被选到的概率为 P 710.22(本小题满分 12 分)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的分类垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率 P；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为a、b、c，其中 a0，abc600.当数
50、据 a、b、c 的方差 s2 最大时，写出 a、b、c 的值(结论不要求证明)，并求出此时 s2 的值解(1)厨余垃圾投放正确的概率为P“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量40040010010023.(2)设“生活垃圾投放错误”为事件 A，则事件 A 表示“生活垃圾投放正确”事件 A的概率为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即 P(A)400240601000 710，所以 P(A)1P(A)1 710 310.(3)当 a600，b0，c0 时，方差 s2 取得最大值因为 x 13(abc)200，所以 s213(600200)2(0200)2(0200)280000.