1、一 平行射影1.正射影(1)点的正射影:给定一个平面,从一点A作平面的垂线,垂足为点A,称点A为点A在平面上的正射影.(2)图形的正射影:一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形,称为这个图形在平面上的正射影.(3)圆面的正射影:如果一个圆所在的平面与平面平行,那么这个圆在平面上的正射影是一个圆;如果一个圆所在的平面与平面垂直,那么这个圆在平面上的正射影是一条线段;如果一个圆所在的平面与平面既不平行也不垂直,那么这个圆在平面上的正射影是一个椭圆.名师点拨一个图形在一个平面上的正射影与图形和平面的位置有关,如一条直线,当它和平面垂直时,它在平面上的射影是一个点;当它和平面斜交时,它在平面上的射
2、影是一条直线;当它和平面平行时,它在平面上的射影是一条与原直线平行的直线.【做一做1】两条平行直线在平面内的正射影可能是.两条平行直线;两条相交直线;一条直线;两个点;一条直线和一个点.解析:设这两条平行直线所确定的平面为,则当与垂直时,射影是一条直线或两个点;当与平行或斜交时,射影是两条平行直线.两条平行直线在平面内的正射影不可能是两条相交直线,也不可能是一条直线和一个点.答案:2.平行射影(1)设直线l与平面相交(如图),称直线l的方向为投影方向.过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交于一点A,称点A为A沿l的方向在平面上的平行射影.一个图形上各点在平面上的平行射影所组成的图形,叫做这个
3、图形的平行射影.(2)正射影是平行射影的特例.名师点拨平行射影与正射影的区别与联系正射影与平行射影的投影线与投影方向都是平行的.因此,正射影也是平行射影.不同的是正射影的投影线与投影面垂直,而平行射影的投影线与投影面斜交或垂直.当平面图形所在的平面与投影面平行时,其正射影图形与原图形面积大小相等,而平行射影图形的面积一般要小于原平面图形的面积.【做一做2】下列说法正确的是()A.正射影和平行射影是两种截然不同的射影B.投影线与投影平面有且只有一个交点C.投影方向可以平行于投影平面D.一个图形在某个平面的平行射影是唯一的解析:正射影是平行射影的特例,本质是相同的,故A错误;过平面外一点与平面相交
4、的直线与平面只有一个交点,投影线就是这样的直线,B正确;投影方向与平面只能相交,故C错误;一个图形在一个平面的射影与投影方向有关,方向改变了,就得出另外的射影,故D错误.答案:B3.椭圆(1)椭圆定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.(2)椭圆与圆柱截面的关系:用一个平面去截一个圆柱,当平面与圆柱两底面平行时,截面是圆;当平面与圆柱两底面不平行时,截面是椭圆.【做一做3】用与圆柱的轴成锐角的平面截圆柱所得的截面图形是.解析:由题意知平面与圆柱的底面不平行,所以截面图形是一个椭圆.答案:椭圆思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)直线或
5、线段的正射影有可能是一个点.()(2)平行直线的平行射影一定是平行直线.()(3)矩形的平行射影不可能是平行四边形.()(4)与投射面垂直的平面图形,其平行射影与原图形全等.()(5)一个平面截圆柱,截面可能是椭圆.()答案:(1)(2)(3)(4)(5)探究一探究二思维辨析当堂检测对正射影与平行射影的理解【例1】若线段AB,CD在同一平面内的正射影相等,则线段AB,CD的长度关系为()A.ABCDB.ABCDC.AB=CDD.无法确定解析:由于线段AB,CD与平面所成的角未定,虽然射影相等,但线段AB,CD的长度没有确定,因此它们的长度关系也无法确定.答案:D反思感悟由图形的正射影推断原图形
6、的性质时,一方面要结合正射影的定义和性质分析,另一方面,要注意综合分析各种情况,注意分类讨论,才能得出正确的结论.探究一探究二思维辨析当堂检测变式训练1直角AOB在平面内的正射影可以是:一条射线;一条直线;直角;钝角;直角三角形.其中说法正确的序号是.解析:设直角AOB所在平面为,则当时,AOB在平面内的正射影是一条射线或一条直线;当时,正射影与原图形全等,因此,此时AOB的正射影为直角;当与的夹角变化时,AOB的正射影可以是锐角、直角或钝角,但构不成直角三角形,故正确的序号是.答案:探究一探究二思维辨析当堂检测正射影与平行射影的应用【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分
7、别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为下列各图中的()探究一探究二思维辨析当堂检测解析:要确定阴影部分在平面ADD1A1上的正射影,则投影光线即与面ADD1A1垂直,显然点D的正射影为点D,点N的正射影为边AD的中点,点M的正射影为边A1A的中点,故选A.答案:A反思感悟已知实物模型找其正射影,可先根据投影面确定投影光线,再找到关键点的正射影.探究一探究二思维辨析当堂检测变式训练2如图,RtABC的斜边BC在平面内,顶点A在平面上的正射影A不在BC边所在直线上时,试判断ABC在平面上的正射影是何种三角形.解:AA,AAAB,AAAC,因此ABAB,ACAC.在Rt
8、ABC中,AB2+AC2=BC2,AB2+AC290.ABC是钝角三角形,即ABC在平面上的正射影是钝角三角形.探究一探究二思维辨析当堂检测对平行射影理解不清致误【典例】有下列4个命题:矩形的平行射影一定是矩形;矩形的正射影一定是矩形;梯形的平行射影一定是梯形;梯形的正射影一定是梯形.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.3D.4错解:B或C或D.正解:矩形的平行射影可以是矩形、平行四边形或线段,因而一定是矩形不成立;矩形的正射影也有矩形、平行四边形、线段三种情况,因而矩形的正射影一定是矩形不正确;梯形的平行射影可以是梯形、线段,因而梯形的平行射影一定是梯形不正确;梯形的正射影也可能是梯形、
9、线段,因而说梯形的正射影一定是梯形的说法是错误的,故选A.探究一探究二思维辨析当堂检测纠错心得判断平面图形的平行射影或正射影的形状时,一方面要考虑平面图形所在平面与投射面的位置关系,另一方面,还要考虑投影线的方向,否则就可能得出错误的、不全面的结论,本题错解:正是由于对正射影与平行射影的理解不清而导致.探究一探究二思维辨析当堂检测变式训练一个正方形利用平行投影后得到的图形是()A.正方形B.正方形或矩形C.正方形或矩形或线段D.以上都不对解析:正方形与投影面的位置关系不同时,得到的图形不同.答案:D探究一探究二思维辨析当堂检测1.ABC在平面上的正射影是()A.三角形B.直线C.线段D.三角形
10、或线段解析:当ABC所在平面垂直于时,ABC在上的正射影是一条线段,否则是三角形.答案:D2.圆的正射影不可能是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.线段解析:当圆所在平面与射影平面平行时,正射影是圆,不平行时是椭圆,垂直时是线段,故不可能是抛物线.答案:C探究一探究二思维辨析当堂检测3.已知平面上两个定点A和B的距离为5,动点P到A,B的距离之和为常数m.若动点P的轨迹是椭圆,则m的取值范围是()A.(0,5)B.(5,+)C.(0,+)D.R解析:当m5时,轨迹是椭圆.答案:B4.在梯形ABCD中,ABCD.若梯形不在内,则它在上的射影是.解析:若梯形ABCD所在平面平行于投影方向,则梯形ABCD在上的射影是一条线段;若梯形ABCD所在平面不平行于投影方向,则平行线的射影仍是平行线,不平行的线的射影仍不平行,则梯形ABCD在平面上的射影仍是梯形.答案:一条线段或一个梯形探究一探究二思维辨析当堂检测5.如图,已知DA平面ABC,ABC是斜三角形,点A是点A在平面BCD上的正射影.求证:点A不可能是BCD的垂心.证明:假设点A是BCD的垂心,则ABCD.因为AA平面BCD于点A,所以ABCD.又因为DA平面ABC,所以ABAC,这与ABC是斜三角形的条件矛盾,故点A不可能是BCD的垂心.