1、32古典概型32.1古典概型1了解基本事件的定义，能写出一次试验所出现的基本事件2理解古典概型的特征和计算公式，会判断古典概型，培养逻辑推理的核心素养3会求古典概型中事件的概率，培养数学建模的核心素养1基本事件(1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件(2)特点：一是任何两个基本事件是互斥的；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型(1)定义：如果一个概率模型满足试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(2)计算公式：对于古典概型，任何事件的
2、概率为P(A).1掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？提示不是因为骰子不均匀，所以每个基本事件出现的可能性不相等2“在区间0, 10上任取一个数，这个数恰为2的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？提示不是因为在区间0,10上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型3判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何两个基本事件是互斥的()(2)任何事件都可以表示成基本事件的和()(3)一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，则这个试验是古典概型()(4)古典概型中每个基本事件出现的可能性相等()提示(1)(2)(3)(
3、4) 题型一 基本事件的计数问题【典例1】将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，观察两次出现的点数情况，则： (1)一共有几个基本事件？ (2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？ 思路导引先列出所有的基本事件，再确定个数解解法一： (1)用(x，y)表示结果，其中x表示第1次骰子出现的点数，y表示第2次骰子出现的点数，则试验的所有结果为： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6), (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6), (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6), (4,1)，(4,2)，(4,3
4、)，(4,4)，(4,5)，(4,6), (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6), (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6). 共36个基本事件. (2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6). 解法二：如下图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应. (1)由图知，基本事件的总数为36. (2)“出现的点数之和大于8”包含10个基本事件(已用虚线圈出). 解法三：一枚
5、骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示如下图所示. (1)由图知，共36个基本事件. (2)“出现的点数之和大于8”包含10个基本事件(已用“”标出). (1)在列出基本事件时，应先确定基本事件是否与顺序有关写基本事件时，一定要按一定顺序写，这样不容易漏写. (2)求基本事件总数的常用方法 列举法：适合于较简单的问题. 列表法：适合求较复杂问题中的基本事件数. 树形图法：适合较复杂问题中基本事件的探求针对训练1一个口袋内装有大小相同的5个球，其中2个白球，3个黑球，写出按下列要求的基本事件. (1)一次摸两个； (2)先摸一个不放回，再摸一个； (3)先摸一个放回后，再摸一个. 解2个白球
6、分别记为A，B,3个黑球分别记为a，b，c. (1)列举法：基本事件有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10个. (2)树形图法：基本事件有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，A)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，A)，(a，B)，(a，b)，(a，c)，(b，A)，(b，B)，(b，a)，(b，c)，(c，A)，(c，B)，(c，a)，(c，b)，共20个. (3)列表法：ABabcA(A，A)(A，B)(A，a)(A，b)(A，c)B(B，A)(B，B)(B，a)(B，b)(
7、B，c)a(a，A)(a，B)(a，a)(a，b)(a，c)b(b，A)(b，B)(b，a)(b，b)(b，c)c(c，A)(c，B)(c，a)(c，b)(c，c)基本事件共有25个题型二 简单的古典概型的概率计算【典例2】甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率. 思路导引(1)要求2名教师性别相同的概率，应先写出所有可能的结果，可以采用列举法求解；(2)要求选出的2名教师来
8、自同一所学校的概率，应先求出2名教师来自同一所学校的基本事件. 解(1)甲校2名男教师分别用A，B表示，1名女教师用C表示；乙校1名男教师用D表示，2名女教师分别用E，F表示. 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种. 从中选出2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种， 所以选出的2名教师性别相同的概率为P.(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)
9、，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种. 从中选出2名教师来自同一所学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种， 所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P.求解古典概型“四步法” 针对训练2某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有
10、1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率解(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为A，B，A，C，A，X，A，Y，A，Z，B，C，B，X，B，Y，B，Z，C，X，C，Y，C，Z，X，Y，X，Z，Y，Z，共15种(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为A，Y，A，Z，B，X，B，Z，C，X，C，Y，共6种因此，事件M发生的概率P(M).题型三 较复杂的古典概型的概率计算【典例3】袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球(1)写出所有不同的结果；(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率
11、；(3)求至少摸出1个黑球的概率思路导引(1)可以利用初中学过的树状图写出；(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出；(3)找出至少摸出1个黑球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出解(1)用树状图表示所有的结果为所以所有不同的结果是ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个基本事件，所以P(A)0.6，即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B，则事件B包含的基本事件为ab，ac，a
12、d，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，所以P(B)0.7，即至少摸出1个黑球的概率为0.7.利用事件间的关系求概率在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再用公式P(A)1P()(为A的对立事件)求得针对训练3先后掷两枚大小相同的骰子(1)求点数之和出现7点的概率；(2)求出现两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率解如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36个(1)记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共
13、6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)故P(A).(2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4)故P(B).(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)故P(C).课堂归纳小结1古典概型是一种最基本的概型解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性在应用公式P(A)时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m、n.2.求某
14、个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏3对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，再求所求概率.1同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是()A3 B4 C5 D6解析事件A包含的基本事件有6个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)故选D.答案D2下列关于古典概型的说法中正确的是()试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个事件出现的可能性相等；每个基本事件出现的可能性相等；基本事件的总数为n，随机事件A若
15、包含k个基本事件，则P(A).A B C D解析根据古典概型的特征与公式进行判断，正确，不正确，故选B.答案B3下列试验中，属于古典概型的是()A种下一粒种子，观察它是否发芽 B从规格直径为250 mm0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径dC抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面D某人射击中靶或不中靶解析依据古典概型的特点判断，只有C项满足：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相同答案C4设a是掷一枚骰子得到的点数，则方程x2ax20有两个不相等的实根的概率为()A. B. C. D.解析基本事件总数为6，若方程有两个不相等的实根则a280，满足上述条件的
16、a为3,4,5,6，故P.答案A5一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为()A. B. C. D.解析所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个则所求概率为.答案A弄错基本事件而致误【典例】任意投掷两枚质地均匀的骰子，求“出现的点数之和为奇数”的概率. 错解任意投掷两枚骰子，点数之和可能是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，共有11个基本事件，设出现的点数之和为奇数的事件为A，则
17、事件A包含3,5,7,9,11，共5个基本事件，故P(A)，即出现的点数之和为奇数的概率为.错解分析出现点数之和为奇数与偶数的11种情况不是等可能事件，如“点数之和为2”只出现一次，即(1,1)；“点数之和为3”则出现两次，即(2,1)，(1,2)，因此以点数之和为基本事件不属于古典概型，不能应用古典概型概率公式计算. 正解任意投掷两枚骰子，可看成等可能事件，其结果即基本事件可表示为数组(i，j)(i，j1,2，6)，其中两个数i，j分别表示这两枚骰子出现的点数，则有 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6), (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2
18、,5)，(2,6), (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6), (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6), (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6), (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6), 共有36个基本事件. 设“出现的点数之和为奇数”为事件A，则包含(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，共
19、有18个基本事件，故P(A).即“出现的点数之和为奇数”的概率为.首先确定是不是古典概型，然后注意基本事件总数是什么，事件A是什么，包含的基本事件有哪些. 针对训练从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率(1)事件A三个数字中不含1和5；(2)事件B三个数字中含1或5. 解这个试验的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件总数n10. (1)因为事件A(2,3,4), 所以事件A包含的事件数m1. 所以P(A).(2)因为事
20、件B(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5), 所以事件B包含的基本事件数m9. 所以P(B).课后作业(十九) (时间45分钟)学业水平合格练(时间25分钟)1下列概率模型中，是古典概型的个数为()从区间1,10内任取一个数，求取到1的概率；从110中任意取一个整数，求取到1的概率；在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率A1 B2 C3 D4解析古典概型的概率特点是基本事件是有限个，并且每个基本事件发生的概率是等可能的，故是古
21、典概型，由于硬币质地不均匀，故不是古典概型，故选A.答案A2一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为()A. B.C. D.解析该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率P.答案C3现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为()A. B. C. D.解析设两道题分别为A，B，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB, BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽
22、取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种；故所求事件的概率为.故选C.答案C4从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是()A. B. C. D.解析若使两点间的距离为，则为对角线的一半，选择点必含中心，设中心为G，四个顶点为A，B，C，D，基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，G)，(B，C)，(D，G)，共10个，所求事件包含的基本事件有(A，G)，(B，G)，(C，G)，(D，G)，共4个，所求概率为.答案B54张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽
23、取2张，则取出的卡片上的数字之和为奇数的概率为()A. B. C. D.解析从4张卡片中随机取2张，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3), (2,4)，(3,4)，6种基本事件，其数字之和为奇数的有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)故所求概率为P.答案C6古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽到的两种物质不相克的概率为_解析试验所含的基本事件为金，木、金，水、金，火、金，土、木，水、木，火、木，土、水，火、水，土、火，土共10种“金克木，木克土，土克水，水克火，火克
24、金”之外的都不相克，共有5种，故抽取到的两种物质不相克的概率为.答案7设a，b随机取自集合1,2,3，则直线axby30与圆x2y21有公共点的概率是_解析将a，b的取值记为(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种可能当直线与圆有公共点时，可得1，从而符合条件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5种可能，故所求概率为.答案8某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为_解析设2名男生为a，b,3名女生为A，B，C，从中选出2人的情况
25、有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女生的情况有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为.答案9在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C共4道题，其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题现甲、乙两位同学均需从4道题目中随机抽取一题作答(1)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率；(2)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率解由题意可知，甲、乙两位同学分别从4道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，分别是：(A1，A1)，(A1，A2)，(A1，
26、B)，(A1，C)，(A2，A1)，(A2，A2)，(A2，B)，(A2，C)，(B，A1)，(B，A2)，(B，B)，(B，C)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，(C，C)(1)用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N包含基本事件为：(B，A1)，(B，A2)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)所以P(N).(2)用M表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M包含的基本事件为：(A1，A1)，(A1，A2)，(A2，A1)，(A2，A2)，(B，B)，(C，C)所以P(M).10设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的
27、方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛用所给编号列出所有可能的结果；设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率解(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A
28、5，A4，A6，A5，A6，共15种编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为A1，A5，A1，A6，A2，A5，A2，A6，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共9种因此，事件A发生的概率P(A).应试能力等级练(时间20分钟)11有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A. B. C. D.解析从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：红，黄，红，蓝，红，绿，红，紫，黄，蓝，黄，绿，黄，紫，蓝，绿，蓝，紫，绿，紫而取出的2支彩笔中含有红色
29、彩笔的取法有红，黄，红，蓝，红，绿，红，紫，共4种，故所求概率P.答案C12有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B. C. D.解析记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个，因此P(A).答案A13甲、乙、丙三名同学上台领奖，从左到右按甲、乙、丙的顺
30、序排列，则三人全都站错位置的概率是_解析甲，乙，丙三人随意站队排列，共有6种顺序，即(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，而“三人全都站错位置”包括(乙，丙，甲)和(丙，甲，乙)2个基本事件，故所求概率P.答案14设集合Px,1，Qy,1,2，PQ，x，y1,2,3，9在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(x，y)所表示的点中任取一个，其落在圆x2y2r2内的概率恰为，则r2的一个可能整数值是_(只需要写出一个即可)解析满足条件的点有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,3
31、)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(7,7)，(8,8)，(9,9)，共14个欲使其点落在x2y2r2内的概率为，则这14个点中有4个点在圆内，所以只需29r232，故r230或31或32.答案30(或31或32)15小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y，(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线xy7上的概率； (2)规定：若xy10，则小王赢；若xy4，则小李赢，其他情况不分输赢试问这个游戏规则公平吗？请说明理由解(1)因x，y都可取1,2,3,4,5,6，故以(x，y)为坐标的点共有36个记点(x，y)落在直线xy7上为事件A，事件A包含的点有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)6个，所以事件A的概率P(A).(2)记xy10为事件B，xy4为事件C，用数对(x，y)表示x，y的取值则事件B包含(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6个数对；事件C包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个数对由(1)知基本事件总数为36个，所以P(B)，P(C)，所以小王、小李获胜的可能性相等，游戏规则是公平的