1、高考大题专项(四)立体几何考情分析从近五年的高考试题来看,立体几何解答题是高考的重点内容之一,每年必考,一般处在试卷第18题或者第19题上,主要考查空间线线、线面、面面的平行与垂直及空间几何体的体积或侧面积,试题以中档难度为主.着重考查推理论证能力和空间想象能力以及转化与化归思想,几何体以四棱柱、四棱锥、三棱柱、三棱锥等为主.必备知识1.证明线线平行和线线垂直的常用方法(1)证明线线平行常用的方法:利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;利用平行四边形进行平行转换;利用三角形的中位线定理证线线平行;利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法:利用等腰三角形
2、底边上的中线即高线的性质;勾股定理;线面垂直的性质:即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,即l,ala.2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.3.求几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.对于某些三棱锥,有时可采用等体积转换法求解.(2)对于不规则几何体,可采用割补法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等
3、腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用.4.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不变性,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等的不变性.突破1空间中的平行与几何体的体积题型一证线面平行及求几何体的体积【例1】(2020江苏常州模拟)如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为矩形,E为SA的中点,SA=SB=2,AB=23,BC=3.(1)证明:SC平面BDE;(2)若BCSB,求三棱锥C-BDE的体积.解题心得1.证线面平行,一般利用线面平行的判定定理,难点是找直线在平面的平行线:(1)利用三角形的中位线找平行线证线面平行;(2)构造平行四边形,找平行线;(3
4、)将证线面平行问题转化为面面平行,即过所证直线作辅助面,证该平面与已知平面平行;(4)利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行.2.求几何体的体积,一般思路是围绕已知条件和要求的几何体的底和高,通过几何体的几何性质,建立已知和未知的关系,依据题意可借助方程的思想求出未知数,从而求出体积.对点训练1(2020河南实验中学4月模拟,文19)如图,矩形CDEF和梯形ABCD所在的平面互相垂直,BAD=ADC=90,AB=AD=12CD,BEDF.(1)若M为EA的中点,求证:AC平面MDF;(2)若AB=2,求四棱锥E-ABCD的体积.题型二证面面平行及求几何体的体积【例2】如图,在四棱锥P-A
5、BCD中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD,PA=AB,E、F、G分别是PA、PB、BC的中点.(1)证明:平面EFG平面PCD;(2)若平面EFG截四棱锥P-ABCD所得截面的面积为322,求四棱锥P-ABCD的体积.解题心得1.证明面面平行的方法有:(1)利用定义证明;(2)利用判定定理:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行;(3)垂直于同一直线的两个平面平行;(4)平行于同一个平面的两个平面平行.2.求几何体的体积首要考虑的是几何体的底面面积和几何体的高,如果都易求,直接代入体积公式即可.对点训练2如图,在四面体ABCD中,平面ABC平面ACD,ACB=AC
6、D=90,AC=BC=2CD=2,E,F,G分别为AB,AD,AC的中点.(1)证明:平面EFG平面BCD;(2)求三棱锥E-ACD的体积.题型三证平行关系及求点到面的距离类型一定义法求点到面的距离【例3】(2019全国1,文19)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN平面C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.解题心得在空间中,求点A到平面的距离,可利用点到面的距离的定义来求,一般在过点A且与平面垂直的平面内作两平面交线的垂线,由面面垂直的性质定理可知,该垂线垂直平面,点A与垂
7、足的距离即为点到平面的距离.对点训练3如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设AP=1,AD=3,三棱锥P-ABD的体积V=34,求A到平面PBC的距离.类型二体积法求点到面的距离【例4】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C底面ABC,ACB=90,AC=BC=4,M,N分别为AB,CC1的中点.(1)求证:CM平面AB1N;(2)若AB1与平面B1C1CB所成的角为30,求点M到平面AB1N的距离.解题心得体积法求点到面的距离就是在点到面的距离不容易作出的情况下,转化为求三棱锥的高.由于三棱锥哪一个侧面都可
8、当作底面,对应的三棱锥的高是该侧面与相对应顶点的距离.所以同一个三棱锥,其体积可用不同的底与对应的高表示出,从而构成一个方程,解方程得点到面的距离.对点训练4(2020湖南郴州二模,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BAD=ABC=90,AB=BC=12AD=1,PAD为等边三角形,且平面PAD平面ABCD,设E为PD的中点.(1)求证:CE平面PAB;(2)求点D到平面ACE的距离.高考大题专项(四)立体几何突破1空间中的平行与几何体的体积例1(1)证明连接AC,设ACBD=O,连接OE,四边形ABCD为矩形,O为AC的中点.在ASC中,E为AS的中点,SCOE,
9、又OE平面BDE,SC平面BDE,SC平面BDE.(2)解过点E作EHAB,垂足为H,BCAB,且BCSB,ABSB=B,BC平面SAB,EH平面ABS,EHBC,又EHAB,ABBC=B,EH平面ABCD,在SAB中,取AB中点M,连接SM,SA=SB,SMAB,SM=1.EHSM,EH=12SM=12,SBCD=12323=33.VC-BDE=VE-BCD=13SBCDEH=133312=32.三棱锥C-BDE的体积为32.对点训练1(1)证明设EC与DF交于点N,连接MN,在矩形CDEF中,点N为EC中点,M为EA的中点,MNAC.AC平面MDF,MN平面MDF,AC平面MDF.(2)解
10、取CD中点为G,连接BG,EG,平面CDEF平面ABCD,平面CDEF平面ABCD=CD,AD平面ABCD,ADCD,AD平面CDEF,同理ED平面ABCD,ED的长即为四棱锥E-ABCD的高,在梯形ABCD中,AB=12CD=DG,ABDG,四边形ABGD是平行四边形,BGAD,BG平面CDEF.又DF平面CDEF,BGDF,又BEDF,BEBG=B,DF平面BEG,DFEG.由图知,RtDEGRtEFD,DE2=DGEF=8,DE=22,VE-ABCD=13S梯形ABCDED=42.例2(1)证明E,F分别为PA,PB的中点,EFAB.又ABCD,EFCD.F,G分别为PB,BC的中点,F
11、GPC,又PCCD=C,EFFG=F,平面EFG平面PCD.(2)解设H为AD的中点,则GHEF,则平面EFG截四棱锥P-ABCD的截面为梯形EFGH,PA平面ABCD,又DC平面ABCD,PADC,又DCAD,DC平面PAD,又EH平面PAD,CDEH,又GHCD,GHEH,梯形EFGH为直角梯形.不妨设PA=AB=a,则EF=12AB=12a,GH=AB=a,EH=AE2+AH2=22a.S梯形EFGH=(EF+GH)EH2=(12a+a)22a2=382a2=322,a=2.V四棱锥P-ABCD=13S正方形ABCDPA=13222=83.对点训练2(1)证明E,F分别为AB,AD的中点
12、,EFDB.又EF平面BCD,BD平面BCD,EF平面BCD,同理,EG平面BCD,EFEG=E,EF平面EFG,EG平面EFG,平面EFG平面BCD.(2)解ACB=90,ACBC,平面ABC平面ACD,平面ABC平面ACD=AC,ACBC,BC平面ABC,BC平面ACD.BC=2,E为AB中点,VE-ACD=12VB-ACD=1213SACDBC=1612222=23,三棱锥E-ACD的体积为23.例3(1)证明连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以MEB1C,且ME=12B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=12A1D.由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故M
13、END,因此四边形MNDE为平行四边形,MNED.又MN平面C1DE,所以MN平面C1DE.(2)解过C作C1E的垂线,垂足为H.由已知可得DEBC,DEC1C,所以DE平面C1CE,故DECH.从而CH平面C1DE,故CH的长即为C到平面C1DE的距离.由已知可得CE=1,C1C=4,所以C1E=17,故CH=41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.对点训练3(1)证明设BD与AC的交点为O,连接EO.因为底面ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)解V=16PAABAD=36AB,由V=34
14、,可得AB=32.作AHPB交PB于点H,由题设知BC平面PAB,所以BCAH.故AH平面PBC.又AH=PAABPB=31313.所以A到平面PBC的距离为31313.例4(1)证明取AB1的中点O,连接OM,ON,在ABB1中,O,M分别是AB1,AB的中点,则OMBB1,且OM=12BB1,又N为CC1的中点,CC1BB1,所以NCBB1,NC=12BB1,从而有OMNC且OM=NC,所以四边形OMCN为平行四边形,所以CMNO.又因为CM平面AB1N,NO平面AB1N,所以CM平面AB1N.(2)解由CC1平面ABC,得CC1AC,又因为ACBC,CC1BC=C,所以AC平面B1C1C
15、B,连接CB1,所以AB1C即为AB1与平面B1C1CB所成的角,从而有AB1C=30,所以B1C=43,B1B=42.由(1)可知CM平面AB1N,所以点C到平面AB1N的距离等于点M到平面AB1N的距离.在AB1N中,AN=NB1=26,AB1=8,SAB1N=82,在ACN中,AC=4,CN=22,SACN=42,设点C到平面AB1N的距离为d,由VC-AB1N=VB1-ACN得,13SAB1Nd=13SACNBC,所以d=2,即点M到平面AB1N的距离为2.对点训练4(1)证明设F为PA的中点,连接EF,BF,E为PD的中点,EFAD,且EF=12AD.BCAD,且BC=12AD,EFBC,且EF=BC,四边形BCEF是平行四边形,CEBF.又CE平面PAB,BE平面PAB,CE平面PAB.(2)解由(1)得CE=BF,平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,ABAD,AB平面PAD,又PA平面PAD,ABPA,在RtPAB中,AF=12AP=12AD=1,AB=1,BF=2,CE=BF=2,在ACE中,AC=2,AE=3,CE=2,SACE=154,设D到平面ACE的距离为h,由VE-ADC=VD-ACE,得13SADC32=13SACEh,解得h=255.
