1、8.3空间点、直线、平面之间的位置关系必备知识预案自诊知识梳理1.平面的基本性质图形文字语言符号语言公理1如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线在此平面内AlBlABl公理2过不在,有且只有一个平面A,B,C三点不共线有且只有一个平面,使A,B,C公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们过该点的公共直线若P且P,则=a,且Pa公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行若直线ab,cb,则ac2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言ab=Aa=A=l续表直线与直线直线与平面平面与平面独有关系图形语言或符号语
2、言a,b是异面直线a3.异面直线所成的角(1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的叫做异面直线a与b所成的角.(2)范围:0,2.4.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.1.公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.2.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.3.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已
3、知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.()(2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,记作=A.()(3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b不可能是平行直线.()(4)两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作=a.()(5)若a,b是两条直线,是两个平面,且a,b,则a,b是异面直线.()2.下列命题正确的个数为()梯形一定是平面图形;若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这
4、两条直线平行;两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.A.0B.1C.2D.33.(2020浙江,6)已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2020河南鹤壁模拟)下列命题中,真命题的个数为()如果两个平面有三个不在同一条直线上的公共点,那么这两个平面重合;两条直线可以确定一个平面;空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;若M,M,=l,则Ml.A.1B.2C.3D.45.设l,m是两条不同的直线,是一个平面,以下命
5、题正确的是()A.若l,m,则lmB.若l,ml,则mC.若l,ml,则mD.若l,m,则lm关键能力学案突破考点平面的基本性质及应用【例1】(1)(2020湖北襄阳五中模拟)以下命题中,正确命题的个数是()不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;依次首尾相接的四条线段必共面.A.0B.1C.2D.3(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC与BD交于点M,则点O与直线C1M的关系是.解题心得共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线
6、共面问题的两种方法:首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后证其余的线(或点)在这个平面内;将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.(2)证明点共线问题的两种方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.对点训练1如图,=l,A,B,C,且Cl,直线ABl=M,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M考点空间两条直线的位置关系(多考向探究)考向1两直线位置关系的判定【例2】(1)平面外有
7、两条直线a,b,它们在平面内的射影分别是直线m,n,则下列命题正确的是()A.若ab,则mnB.若mn,则abC.若mn,则abD.若m和n相交,则a和b相交或异面(2)(2020四川绵阳中学模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是()A.相交但不垂直B.相交且垂直C.异面D.平行思考如何比较直观地判断两直线的位置关系?考向2异面直线的判定【例3】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:直线AM与CC1是相交直线;直线AM与BN是平行直
8、线;直线BN与MB1是异面直线;直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为(注:把你认为正确的结论序号都填上).思考空间两条直线位置关系的判定方法有哪些?考向3异面直线所成的角【例4】(1)(2018全国2,文9)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.22B.32C.52D.72(2)(2020重庆南开中学期中)正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=22,D为棱A1B1的中点,则异面直线AD与CB1所成角的大小为.解题心得1.点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型,以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置
9、关系,准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直.2.空间两条直线位置关系的判定方法3.求解异面直线所成角的方法方法解读平移法通过作图(如结合中位线、平行四边形补形等)来构造平行线,作出异面直线所成的角,通过解三角形来求解补形法补成长方体或正方体转化法当异面直线所成角为2时,可转化为证明垂直对点训练2(1)有两条不同的直线m,n与两个不同的平面,下列命题正确的是()A.m,n,且,则mnB.m,n,且,则mnC.m,n,且,则mnD.m,n,且,则mn(2)(2020辽宁大连模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=1,BB1=1,P是AB的中点
10、,则异面直线BC1与PD所成的角等于()A.30B.45C.60D.90(3)在图中,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有.(填上所有正确答案的序号)考点空间中线面的位置关系【例5】设直线m与平面相交但不垂直,则下列说法正确的是()A.在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B.过直线m有且只有一个平面与平面垂直C.与直线m垂直的直线不可能与平面平行D.与直线m平行的平面不可能与平面垂直思考如何借助空间图形确定线面位置关系?解题心得解决这类问题的关键就是熟悉直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及相应的公理定理,归纳整理平面几何中成立但
11、立体几何中不成立的命题,并在解题过程中注意避免掉入由此设下的陷阱.判断时可由易到难进行,一般是作图分析,构造出符合题设条件的图形或反例来判断.对点训练3已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是()A.若c平面,则aB.若c平面,则a,bC.存在平面,使得c,a,bD.存在平面,使得c,a,b1.公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据;公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据;公理3是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理.2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点
12、B的直线是异面直线.(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.8.3空间点、直线、平面之间的位置关系必备知识预案自诊知识梳理1.两点同一条直线上的三点有且只有一条3.(1)锐角(或直角)考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.C因梯形有一组对边平行,所以梯形可以确定一个平面,故正确;如等腰三角形中,AB,AC与底边直线BC所成的角相等,而直线AB,AC不平行,故错误
13、;两两相交的三条直线,比如墙角处的三条交线最多可以确定三个平面,故正确;如果两个平面有三个共线的公共点,这两个平面不重合,故错误.故选C.3.B由条件可知,当m,n,l在同一平面内时,三条直线不一定两两相交,有可能两条直线平行;或三条直线平行;反过来,当空间中不过同一点的三条直线m,n,l两两相交时,如图,三个不同的交点确定一个平面,则m,n,l在同一平面内,所以“m,n,l”共面是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.故选B.4.B根据公理2,可判断是真命题;两条异面直线不能确定一个平面,故是假命题;在空间中,相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角),故是假命题;根据平面的性质可知是真命
14、题.综上,真命题的个数为2.5.D由l,m是两条不同的直线,是一个平面,知:在A中,若l,m,则l与m相交、平行或异面,故A错误;在B中,若l,ml,则m或m,故B错误;在C中,若l,ml,则m与相交、平行或m,故C错误;在D中,若l,m,则由线面垂直的性质定理得lm,故D正确.故选D.关键能力学案突破例1(1)B(2)点O在直线C1M上(1)正确,可以用反证法证明,假设任意三点共线,则四个点必共面,与不共面的四点矛盾;若点A,B,C在同一条直线上,则A,B,C,D,E不一定共面,故错误;直线b,c可能是异面直线,故错误;当四条线段构成空间四边形时,四条线段不共面,故错误.(2)如图所示,连接
15、A1C,因为A1C平面A1ACC1,OA1C,所以O平面A1ACC1,而O是平面BDC1与直线A1C的交点,所以O平面BDC1,所以点O在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上.因为ACBD=M,所以M平面BDC1.又M平面A1ACC1,所以平面BDC1平面A1ACC1=C1M,所以OC1M.对点训练1DA,B,MAB,M.又=l,Ml,M.根据公理3可知,M在与的交线上.同理可知,点C也在与的交线上.例2(1)D(2)D(1)由平面外有两条直线a,b,它们在平面内的射影分别是直线m,n,知:在A中,若ab,则m与n也有可能重合或平行,故A错误;在B中,若mn,则a与b也有可能异面,故B错误;
16、在C中,若mn,则a与b平行或异面,故C错误;在D中,若m和n相交,由射影的性质得a和b相交或异面,故D正确.(2)连接D1E并延长,与AD交于点M,由A1E=2ED,可得M为AD的中点,连接BF并延长,交AD于点N,因为CF=2FA,可得N为AD的中点,所以M,N重合,所以EF和BD1共面,且MEED1=12,MFBF=12,所以MEED1=MFBF,所以EFBD1,故选D.例3因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故错;取DD1中点E,连接AE,图略,则BNAE,但AE与AM相交,故错;因为B1与
17、BN都在平面BCC1B1内,M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故正确;同理正确,故填.例4(1)C(2)6(1)取DD1的中点F,连接AC,EF,AF,则EFCD,故AEF为异面直线AE与CD所成的角.设正方体边长为2a,则易知AE=AC2+CE2=3a,AF=AD2+DF2=5a,EF=2a.cosAEF=(3a)2+(2a)2-(5a)223a2a=23.sinAEF=53.tanAEF=52.(2)如图,AD=AA1+A1D=AA1+12A1B1=AA1+12AB,CB1=CA+AB+BB1=AA1-AC+AB,且AB=AC=BC=2,AA1=22,侧棱
18、和底面垂直,ADCB1=AA1+12AB(AA1-AC+AB)=AA12-12ABAC+12AB2=8-122212+124=9,AD=8+1=3,CB1=8+4=23,cos=9323=32,且0,=6,异面直线AD与CB1所成角的大小为6.对点训练2(1)A(2)C(3)(1)对于A,m,n,且,得mn,故正确;对于B,由m,n,得mn故错误;对于C,由m,n,且,得mn或m,n相交或异面,故错误;对于D,由m,n,且,得m,n的关系可以垂直,相交,平行,故错误.故选A.(2)取CD的中点Q,连接BQ,C1Q,P是AB的中点,BQPD,C1BQ是异面直线BC1与PD所成的角.在C1BQ中,
19、C1B=BQ=C1Q=2,C1BQ=60,即异面直线BC1与PD所成的角等于60,故选C.(3)图中,直线GHMN;图中,G,H,N三点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面;图中,连接GM,GMHN,因此GH与MN共面;图中,G,M,N共面,但H平面GMN,因此GH与MN异面.所以在图中,GH与MN异面.例5B如图,m是平面的斜线,PA,l,lAB,则lm,平面内所有与l平行的直线都垂直于m,故A错;由题意可知过m有且只有一个平面PAB与平面垂直,假设有两个平面都与平面垂直,则这两个平面的交线m应与平面垂直,与条件矛盾,故B正确;又l,ll,l,lm,lm,故C错;又在平面内取不在直线AB上的一点D,过D可作平面与平面PAB平行,m,平面PAB,平面,故D错.对点训练3C由a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,知:在A中,若c平面,则a与相交、平行或a,故A错误;在B中,若c平面,则a,b与平面平行或a,b在平面内,故B错误;在C中,存在平面,使得c,a,b,故C正确;在D中,若存在平面,使得c,a,b,则ab,与已知a,b是两条异面直线矛盾,故D错误.故选C.
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