1、第七章不等式、推理与证明7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题必备知识预案自诊知识梳理1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的.我们把直线画成虚线以表示区域边界直线.当我们在平面直角坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时,此区域应边界直线,则把边界直线画成.(2)因为把直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的即可判断Ax+By+C0表示的是直线Ax+By+
2、C=0哪一侧的平面区域.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的相关概念名称意义线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x,y的约束条件目标函数关于x,y的解析式线性目标函数关于x,y的一次解析式可行解满足的解(x,y)可行域所有组成的集合最优解使目标函数达到或的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的或的问题1.二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式Ax+By+C 0(A0,B0)Ax+By+C0(A0,B0)Ax+By+C 0(A0,B0,B0表示的平面区域在直线x-y-1=0的上方.()(2
3、)两点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0.()(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.()(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()(5)在目标函数z=ax+by(b0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.()2.不等式组x-3y+60或Ax+By+C0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;当B(Ax+By+C)a”为假命题,则实数a的取值范围是()A.5,+)B.2,+)C.1,+)D.0,+)(4)(2020重庆一中模拟,文15)已知实数x,y满足x-y
4、-20,x+2y-50,y-20,则函数z=4x18y的最小值为.考点线性规划的实际应用【例6】某家具厂有方木料90 m3,五合板600 m2,准备加工成书桌和书橱出售,已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3,五合板2 m2,生产每个书橱需要方木料0.2 m3,五合板1 m2,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元.(1)如果只安排生产书桌,可获利润多少?(2)怎样安排生产可使所得利润最大?思考利用线性规划解决实际应用问题的步骤是什么?其注意事项是什么?解题心得利用线性规划求解实际问题的一般步骤(1)认真分析并掌握实际问题的背景,收集有关数据;(2)将影响该问题的各项主要因素
5、作为决策量,设未知量;(3)根据问题的特点,写出约束条件;(4)根据问题的特点,写出目标函数,并求出最优解或其他要求的解.对点训练3(2020河北张家口二模,理9)某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富,若该农户计划种植冬瓜和茄子,总面积不超过15亩,帮扶资金不超过4万元,冬瓜每亩产量10 000斤,成本2 000元,每斤售价0.5元,茄子每亩产量5 000斤,成本3 000元,每斤售价1.4元,则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为()A.4万元B.5.5万元C.6.5万元D.10万元1.非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.2.线性目标函数最值问题的常见
6、类型及解题策略:(1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,因此对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.(2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参数的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数的值.第七章不等式、推理与证明7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题必备知识预
7、案自诊知识梳理1.(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2.线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.C3.B作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,因此|OM|的最小值为点O到直线x+y-2=0的距离,所以|OM|min=|-2|2=2.4.13作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分,设yx=kOP,P为可行域上一点,其中O(0,0),P(x,y),由x+y=2,x+3y-3=0,得A32,12,所以由图可知,当P位于A时,yxmax=kOA=13.5.8作出可行域如图所示(阴影部分).因为z=x+2y,所以y=-12x+z2.作出直线
8、y=-12x,平移直线可知,当直线过点A时,z2最大,即z最大.由2x-y=1,x-y=-1,解得x=2,y=3,故A(2,3).所以zmax=2+23=8.关键能力学案突破例1(1)3(2)(2,+)(1)作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,平面区域为ABC及其内部,其中A(2,0),B(0,2),C(2,3),所以所求面积为122|AC|=3.(2)如图所示,x1,x-2y+10所表示的平面区域为图中的阴影部分,易知直线x=1与x-2y+1=0的交点坐标为A(1,1),不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则点A位于直线x+y=m下方,据此有1+10,k=-a0,则目标函数的斜率满
9、足-akBC=-1,即0a1,若a0,则目标函数的斜率满足-akAC=2,即-2a0,目标函数化为y=a2x-z2,当目标函数过A(a,-a+1)时取得最大值,所以a2+2a-2=13,a2+2a-15=0,解得a=3,或a=-5(舍去).故选A.例5-1或2作出不等式组表示的可行域,如图.目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0AB或l0AC时符合题意,故a=-1或a=2.对点训练2(1)C(2)C(3)A(4)116(1)作出不等式组表示的可行域,如图所示,由z=3x+2y,得y=-32x+z2,根据图象可知,当过M点时,z取最大值,联立x-2y-2=0
10、,y=0,解得x=2,y=0,所以M(2,0),则z的最大值为6.故选C.(2)作不等式组表示的可行域如图,由z=2|x|-y可得y=2|x|-z,作y=2|x|图象,由图象可知,当向上平移y=2|x|过点A时,-z最大,即z最小,令x=0,由y=x+1可得A(0,1),所以zmin=20-1=-1,故选C.(3)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示,令Z=2x+y,得y=-2x+Z,结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A处取得最大值,联立直线方程x-y+1=0,7x-y-7=0,得点A43,73,所以Z=2x+y的最大值为5,因为“(x,y)R,2x+ya”为假命题,所以“
11、(x,y),2x+ya”为真命题,所以实数a的取值范围是5,+),故选A.(4)作出不等式组所表示的可行域如下,因为z=4x18y=22x-3y,令t=2x-3y,则y=23x-t3,当直线y=23x-t3过点M时,在y轴截距最大,此时t取最小值,则z=2t最小.由y=2,x+2y-5=0,得M(1,2),所以tmin=2-32=-4,则zmin=116.例6解由题意可画表格如下方木料/m3五合板/m2利润/元书桌/个0.1280书橱/个0.21120(1)设只生产书桌x个,可获得利润z元,则0.1x90,2x600,解得x900,x300,则x300.因为z=80x,所以当x=300时,zm
12、ax=80300=24000(元),即如果只安排生产书桌,最多可生产300张书桌,获得利润24000元.(2)设生产书桌x张,书橱y个,利润总额为z元.由题可得x+2y900,2x+y600,x0,y0,z=80x+120y.在直角坐标平面内作出不等式组所表示的可行域,如图.作直线l:80x+120y=0,即直线l:2x+3y=0.把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点M(100,400),此时z=80x+120y取得最大值.所以当x=100,y=400时,zmax=80100+120400=56000(元),即生产书桌100张、书橱400个,可使所得利润最大.对点训练3B设冬瓜和茄子的种植面积分别为x,y亩,总利润z万元,则目标函数z=(0.5x10000-2000x)+(1.4y5000-3000y)=3000x+4000y=1000(3x+4y),由题可得x+y15,2000x+3000y40000,x0,y0,即x+y15,2x+3y40,x0,y0,作出可行域如图,由x+y=15,2x+3y=40,可得x=5,y=10,即A(5,10),平移直线l:3x+4y=0,可知直线l经过点A(5,10)时,即x=5,y=10时,z取得最大值5.5万元,即该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为5.5万元.
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