1、6.3等比数列及其前n项和必备知识预案自诊知识梳理1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的比都等于常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母q表示(显然q0).2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项公式为an=;通项公式的推广an=amqn-m.3.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时,.4.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;当q1时,Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q.设数列an是等比
2、数列,Sn是其前n项和.(1)若m+n=p+q,则aman=apaq;若2s=p+r,则apar=as2,其中m,n,p,q,s,rN*.(2)ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为qm(k,mN*).(3)若数列an,bn是两个项数相同的等比数列,则数列ban,panqbn和panqbn也是等比数列.(4)Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.(5)若a1a2an=Tn,则Tn,T2nTn,T3nT2n,成等比数列.(6)若数列an的项数为2n,则S偶S奇=q;若项数为2n+1,则S奇-a1S偶=q.(7)当公比q-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为
3、qn.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)满足an+1=qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列.()(2)G为a,b的等比中项G2=ab.()(3)等比数列中不存在数值为0的项.()(4)如果an为等比数列,bn=a2n-1+a2n,那么数列bn也是等比数列.()(5)如果数列an为等比数列,那么数列ln an是等差数列.()(6)若数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=a(1-an)1-a.()2.(2020江西上饶三模,文3)已知等比数列an的前n项和为Sn,若a1=1,a3+4S2=0,则a10=()A.-512B.512C.1 02
4、4D.-1 0243.(2020湖南衡阳一模)在等比数列an中,a1a3=a4=4,则a6的所有可能值构成的集合是()A.6B.-8,8C.-8D.84.(2020全国1,文10)设an是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=()A.12B.24C.30D.325.若数列an是等比数列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,则an=.关键能力学案突破考点等比数列的基本运算【例1】(2020全国3,文17)设等比数列an满足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为数列log3an的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.思考
5、解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法:(1)方程思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或a11-q当成整体进行求解.对点训练1(1)(2019全国3,理5)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2(2)(20
6、20全国2,文6)记Sn为等比数列an的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则Snan=()A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1考点等比数列的判定与证明【例2】已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列;(2)求an和bn的通项公式.思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?解题心得1.证明数列an是等比数列常用的方法:(1)定义法,证明anan-1=q(n2,q为常数);(2)等比中项法,证明an2=an-1an+1(anan-1an+10,n2,nN*);(3)
7、通项公式法,若数列通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列.2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.对点训练2(2020福建福州三模,理17)已知数列an和bn的前n项和分别为Sn,Tn,a1=2,b1=1,且an+1=a1+2Tn.(1)若数列an为等差数列,求Sn;(2)若bn+1=b1+2Sn,证明:数列an+bn和an-bn均为等比数列.考点等比数列性质的应用(多考向探究)考向1等比数列项的性质的应用【例3】(1)(2020河北沧州一模,理7)已知an为等比数列,a5+a8=-3,a4a9=-18,则a2+a11
8、=()A.9B.-9C.212D.-214(2)(2020辽宁锦州一模,7)已知等比数列an,若a5+a7=8,则a4(a6+2a8)+a3a11的值为()A.128B.64C.16D.8思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?考向2等比数列和的性质及应用【例4】(1)已知数列an是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12等于()A.40B.60C.32D.50(2)已知数列an是各项都为正数的等比数列,Sn为其前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40=()A.150B.-200C.150或-200D.400解题心得1.在解答等比数列的有关
9、问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形:ap2=aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.对点训练3(1)(2020东北三省四市教研体二模,5)在等比数列an中,a5,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,则a3a9=()A.-3B.3C.-4D.4(2)在等比数列an中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=(
10、)A.135B.100C.95D.80(3)已知等比数列an共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=.考点等差、等比数列的综合问题【例5】(1)(2020东北三省四市模拟,理6)已知公差不为0的等差数列an的前n项的和为Sn,a1=2,且a1,a3,a9成等比数列,则S8=()A.56B.72C.88D.40(2)已知在等比数列an中,有a3a11=4a7,数列bn是等差数列,其前n项和为Sn,且b7=a7,则S13=()A.26B.52C.78D.104思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽
11、,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q),充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.对点训练4(1)已知数列an是公差为d(d0)的等差数列,且a1,a3,a6成等比数列,则a1d=()A.1B.2C.3D.4(2)已知数列an满足a1=2,an+1n+1-ann=2,若bn=22an,则数列bn的前n项和Sn=.1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解,问题便可迎刃而解.2.判定等比数列的方法(1)定义法:an+1an=q(q是不为零的常
12、数,nN*)an是等比数列.(2)通项公式法:an=cqn-1(c,q均是不为零的常数,nN*)an是等比数列.(3)等比中项法:an+12=anan+2(anan+1an+20,nN*)an是等比数列.3.求解等比数列问题常用的数学思想(1)方程思想:如求等比数列中的基本量;(2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.1.在等比数列中,易忽视每一项与公比都不为0.2.在求等比数列的前n项和时,易忽略q=1这一特殊情形.6.3等比数列及其前n项和必备知识预案自诊知识梳理1.第2项同一个公比2.a1qn-1(a10,q0)3.a,G,bG2=ab考点
13、自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.A因为在等比数列an中,a1=1,a3+4S2=0,所以q2+4(1+q)=0,解得q=-2,则a10=-512.3.D因为a1a3=a22=4,a4=4,所以a2=2,所以q2=a4a2=2,所以a6=a2q4=24=8,故a6的所有可能值构成的集合是8.4.D设等比数列an的公比为q,因为a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.5.4n-1因为数列an是等比数列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,所以a1+4a1+16a1=21,解
14、得a1=1,所以an=4n-1,故答案为4n-1.关键能力学案突破例1解(1)设an的公比为q,则an=a1qn-1.由已知得a1+a1q=4,a1q2-a1=8,解得a1=1,q=3.所以an的通项公式为an=3n-1.(2)由(1)知log3an=n-1,故Sn=n(n-1)2.由Sm+Sm+1=Sm+3得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0,解得m=-1(舍去),m=6.对点训练1(1)C(2)B(1)设等比数列an的公比为q(q0),则a1(1-q4)1-q=15,a1q4=3a1q2+4a1,解得a1=1,q=2,所以a3=a1q2=122=4.故选
15、C.(2)设等比数列an的公比为q.a5-a3=12,a6-a4=24,a6-a4a5-a3=q=2.又a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,a1=1.an=a1qn-1=2n-1,Sn=a1(1-qn)1-q=1(1-2n)1-2=2n-1.Snan=2n-12n-1=2-12n-1=2-21-n.故选B.例2(1)证明因为4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4,两式相加得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=12(an+bn).又因为a1+b1=1,所以an+bn是首项为1,公比为12的等比数列.(2)解由(1)知,an+bn=12
16、n-1,将4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4两式相减得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.所以an-bn是公差为2的等差数列.又因为a1-b1=1,所以an-bn=2n-1,所以an=12(an+bn)+(an-bn)=12n+n-12,bn=12(an+bn)-(an-bn)=12n-n+12.对点训练2(1)解由an+1=a1+2Tn,得a2=a1+2b1,又a1=2,b1=1,解得a2=4.因为数列an为等差数列,所以该数列的公差为a2-a1=2,所以Sn=2n+n(n-1)22=n2+n.(2)证明当n2时,an
17、=a1+2Tn-1,因为Tn-Tn-1=bn,所以an+1-an=2bn,即an+1=an+2bn,同理可得bn+1=bn+2an(n2).则an+1+bn+1=3(an+bn),所以an+1+bn+1an+bn=3(n2),又a2=a1+2b1=4,b2=b1+2a1=5,所以a2+b2a1+b1=4+52+1=3,所以an+1+bn+1an+bn=3(nN*),所以数列an+bn是以3为首项,3为公比的等比数列.因为an+1-bn+1=-(an-bn),所以an+1-bn+1an-bn=-1(n2),又a2-b2a1-b1=4-52-1=-1,所以an+1-bn+1an-bn=-1(nN*
18、),所以数列an-bn是以-1为首项,-1为公比的等比数列.例3(1)C(2)B(1)an为等比数列,a4a9=a5a8=-18,联立a5a8=-18,a5+a8=-3,得a5=-6,a8=3或a5=3,a8=-6.设等比数列an的公比为q,则当a5=-6,a8=3时,q3=a8a5=-12,a2+a11=a5q3+a8q3=-6-12+3-12=212;当a5=3,a8=-6时,q3=a8a5=-2,a2+a11=a5q3+a8q3=3-2+(-6)(-2)=212.故选C.(2)a4(a6+2a8)+a3a11=a4a6+2a4a8+a3a11=a52+2a5a7+a72=(a5+a7)2
19、=64.故选B.例4(1)B(2)A(1)由等比数列的性质可知,数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,因此S12=4+8+16+32=60,故选B.(2)依题意,S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30.又因为数列an的各项都为正数,即S200,因此S20=30,S20-S10=20,所以S40-S30=S10S20-S10S103=80,S40=S30+(S40-S30)=
20、70+80=150.故选A.对点训练3(1)B(2)A(3)2(1)由a5,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,即a5,a7是方程x2-4x+3=0的两个实根.则a5a7=3,所以在等比数列an中,a3a9=a5a7=3.故选B.(2)由等比数列的性质知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8成等比数列,其首项为40,公比为6040=32,所以a7+a8=40323=135.(3)由题意,得S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,解得S奇=-80,S偶=-160,所以q=S偶S奇=-160-80=2.例5(1)B(2)B(1)由已知,a32=a1a9,a1=2,故(a1+2d
21、)2=a1(a1+8d),解得d=2或d=0(舍),故an=2+(n-1)2=2n,S8=8(a1+a8)2=4(2+28)=72.故选B.(2)设等比数列an的公比为q,a3a11=4a7,a72=4a70,解得a7=4,数列bn是等差数列,且b7=a7.S13=13(b1+b13)2=13b7=13a7=52,故选B.对点训练4(1)D(2)4(4n-1)3(1)由a1,a3,a6成等比数列,得a32=a1a6,即(a1+2d)2=a1(a1+5d),整理,得4d2=a1d.又因为d0,所以a1d=4.(2)数列an满足a1=2,an+1n+1-ann=2,则数列ann是以a11=2为首项,2为公差的等差数列.故ann=2+2(n-1)=2n.由于首项符合通项,故an=2n2,所以bn=22an=22n=4n.因为bn+1bn=4n+14n=4,所以数列bn是以b1=4为首项,公比为4的等比数列,所以Sn=4(4n-1)4-1=4(4n-1)3.故答案为4(4n-1)3.
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