1、第六章数列6.1数列的概念与表示必备知识预案自诊知识梳理1.数列的有关概念概念含义数列按照排列的一列数数列的项数列中的通项公式如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式数列an的前n项和把数列an从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列an的前n项和,记作Sn,即Sn=2.数列的表示方法列表法列表格表达n与an的对应关系图象法把点画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用表达的方法递推公式使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表达数列的方法3.数列的函数特征数列的三种表示方法也是函
2、数的表示方法,数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集1,2,n)的函数an=f(n),当自变量由小到大依次取值时所对应的一列.4.数列的性质单调性递增数列nN*,递减数列nN*,常数列nN*,an+1=an摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列周期性nN*,存在正整数常数k,an+k=an5.an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn,则an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2.在数列an中,若an最大,则anan-1,anan+1.若an最小,则anan-1,anan+1.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)所有数列的第n
3、项都能使用公式表达.()(2)数列an和集合a1,a2,a3,an是一回事.()(3)若数列用图象表示,则从图象上看都是一群孤立的点.()(4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个.()(5)若数列an的前n项和为Sn,则对nN*,都有an=Sn-Sn-1.()2.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,则a2的值是()A.2B.4C.5D.63.(2020北京海淀期中,7)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=an(n=1,2,3,),则a2 020=()A.0B.1C.2 020D.2 0214.已知数列an满足an=n(n+1)2,则S3=.5.(2020天津河东一模)设数列an
4、的前n项和为Sn,且Sn=a1(4n-1)3,若a4=32,则a1=.关键能力学案突破考点由数列的前几项求数列的通项公式【例1】根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,;(2)-112,123,-134,145,;(3)23,415,635,863,1099,;(4)5,55,555,5 555,.思考如何由数列的前几项写出一个数列的通项公式?解题心得求数列通项公式或指定项,通常用观察法,观察出前几项与项数之间的关系,抽象出an与n的关系,对于正、负项相间的数列,一般用(-1)n或(-1)n+1来区分奇偶项的符号.对点训练1根据下面各数列前几项的值,写出
5、数列的一个通项公式:(1)12,2,92,8,252,;(2)1,-3,5,-7,9,;(3)1,2,1,2,1,2,;(4)9,99,999,9 999,.考点由an与Sn的关系求通项an【例2】(1)(2020辽宁大连模拟,文15)已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+2-3,则an=.(2)(2020山西太原三模,文15)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn+an=-2,则数列an的通项公式an=.(3)设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.思考由an与Sn的关系求通项公式an的一般方法是什么?解题心得1.已知数列的前n项和Sn=f(n),
6、则通项公式an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2.当n=1时,若a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n2时的通项公式an;当n=1时,若a1不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.2.给出Sn与an的递推关系,求an的常用思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.对点训练2(1)已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn-1,则a10=()A.128B.256C.512D.1 024(2)(2020山东烟台一模,14)已知数列an的前n项和公式为Sn=2n2-n+1
7、,则数列an的通项公式为.(3)已知Sn为数列an的前n项和,且log2(Sn+1)=n+1,则数列an的通项公式为.考点由数列的递推关系式求an(多考向探究)考向1形如an+1=anf(n),求an【例3】在数列an中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n2),求数列an的通项公式.思考已知在数列an中,an+1=anf(n),利用什么方法求an?考向2形如an+1=an+f(n),求an【例4】(2020河北唐山一模,文15,理15)在数列an中,已知a1=1,an+1=an+tn(nN*,t为非零常数),且a1,a2,a3成等比数列,则an=.思考已知在数列an中,an+1=an
8、+f(n),利用什么方法求an?考向3形如an+1=pan+q,求an【例5】已知数列an满足a1=1,an+1=3an+2,求数列an的通项公式.思考已知在数列an中,an+1=pan+q(p,q均为常数),利用什么方法求an?考向4由含an+1与an的二次三项式求an【例6】已知各项都为正数的数列an满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求an的通项公式.思考已知含有an+1与an的二次三项式的递推公式,如何求an?解题心得根据给出的初始值和递推关系求数列通项的常用方法有:(1)若递推关系为an+1=an+f(n)或an+1=f(n)an,
9、则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式,或用迭代法求得通项公式;(2)当递推公式为an+1=pan+q(其中p,q均为常数)时,通常解法是先把原递推公式转化为an+1-t=p(an-t),其中t=q1-p,再利用换元法转化为等比数列求解;(3)当递推公式含有an+1与an的二次三项式时,通常先对递推公式进行化简、变形,转化为等差或等比数列,再用公式法求an.对点训练3(1)(2020辽宁大连模拟,文11)在数列an中,a1=1,a=(n,an),b=(an+1,n+1),且ab,则a100=()A.10099B.-10099C.100D.-100(2)在数列an中,a1=2,an+1=an+1
10、n(n+1),则数列an=.(3)(2020山西太原二模,理15)已知数列an满足ann=n-1nan+1n+1-1+1(nN*),且a2=6,则an的通项公式为.(4)(2020陕西宝鸡三模,文15)已知数列an,bn满足a1=1.1,b1=0.2,an+1=bn+1+an2,bn+1=13an+23bn,nN,令cn=an-bn,则数列cn的通项公式为.(5)已知数列an对任意的nN*都有an+1=an-2an+1an,若a1=12,则a8=.考点数列的性质(多考向探究)考向1数列的周期性【例7】在数列an中,a1=0,an+1=3+an1-3an,则S2 020=.解题心得解决数列周期性
11、问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.对点训练4数列an满足an+1=2an,0an12,2an-1,12an1的定义域为R,数列an(nN*)满足an=f(n),且an是递增数列,则实数a的取值范围是()A.(1,+)B.12,+C.(1,3)D.(3,+)解题心得解决数列的单调性问题的三种方法作差比较法根据an+1-an的符号判断数列an是递增数列、递减数列或常数列续表作商比较法根据an+1an(an0或an0)与1的大小关系进行判断数形结合法结合相应函数的图象直观判断对点训练5已知数列an满足an=(12-a)n+1,nan+1,则实数a的取值范围是
12、()A.0,12B.12,712C.12,1D.712,1考向3数列的最大(小)项【例9】(1)已知数列an中,前n项和为Sn,且Sn=n+23an,则anan-1的最大值为()A.-3B.-1C.3D.1(2)已知数列an的通项公式为an=12n-15,其最大项和最小项的值分别为()A.1,-17B.0,-17C.17,-17D.1,-111解题心得求数列的最大项、最小项的常用思想(1)利用“两边夹”思想设an为数列an中的最大项,则有anan-1,anan+1(n2).若设an为数列an中的最小项,则有anan+1,anan-1(n2).(2)利用函数思想构造函数,确定函数的单调性,再求出
13、数列的最大(小)项.根据an对应函数的单调性确定,递增数列:a1a2a2an,故(an)max=a1.对点训练6(1)数列an的通项公式为an=nn2+90,则数列an中的最大项的值是()A.310B.19C.119D.1060(2)若数列an的前n项和Sn=n2-10n(nN*),则数列nan中数值最小的项是()A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项1.求数列通项公式或指定项,通常用观察法,观察出前几项与项数之间的关系,抽象出an与n的关系,对于正、负项相间的数列,一般用(-1)n或(-1)n+1来区分奇偶项的符号.2.已知递推关系求通项公式,一般有三种常见思路:(1)先算出前几项,再归纳
14、、猜想;(2)形如“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+=p(an+),由待定系数法求出,再化为等比数列;(3)递推公式化简整理后,若为an+1-an=f(n)型,则采用累加法;若为an+1an=f(n)型,则采用累乘法.3.求数列最大项的方法:(1)判断an的单调性;(2)解不等式组akak-1,akak+1.1.在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值是正整数.2.数列的通项公式不一定唯一.3.注意an=Sn-Sn-1中需n2.4.由Sn求an时,利用an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2求出an后,要注意验证a1是否适合求出的an的关系式.第六章数列6.1数列的概
15、念与表示必备知识预案自诊知识梳理1.确定的顺序每一个数a1+a2+an2.(n,an)公式3.函数值4.an+1anan+1Sn,即Sn+1-Sn=an+10,an+1=2(n+1)+0,则-2n-2.又n7,-2n-2-16,即-16.(2)由于an是递增数列,所以a1,且a2a1,即a22a+3,解得a3,所以a3.对点训练5Banan+1恒成立,a满足12-aa,0a1,解得12a712.例9(1)C(2)A(1)Sn=n+23an,当n2时,an=Sn-Sn-1=n+23an-n+13an-1,可化为anan-1=n+1n-1=1+2n-1,由函数y=2x-1在区间(1,+)内单调递减
16、,可得当n=2时,2n-1取得最大值2.anan-1的最大值为3.(2)因为nN*,所以当1n3时,an=12n-150,单调递减,所以最小项为a3=18-15=-17,最大项为a4=116-15=1,故选A.对点训练6(1)C(2)B(1)an=nn2+90=1n+90n,令f(x)=x+90x(x0),运用基本不等式得f(x)610,当且仅当x=310时,等号成立.因为an=1n+90n,nN*,所以1n+90n1610,即当n=9或n=10时,an=119最大.(2)Sn=n2-10n,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-11;当n=1时,a1=S1=-9也适合上式.an=2n-11(nN*).记f(n)=nan=n(2n-11)=2n2-11n,此函数图象的对称轴为直线n=114,又nN*,当n=3时,f(n)取最小值.数列nan中数值最小的项是第3项.
