1、5.3平面向量的数量积与平面向量的应用必备知识预案自诊知识梳理1.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为,则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积,记作ab续表投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影,|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积2.向量数量积的运算律交换律ab=ba分配律(a+b)c=ac+bc数乘结合律(a)b=(ab)=a(b)(为实数)3.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为.向量的有关概念几何表示坐标表示模|a|=aa|
2、a|=x12+y12数量积|a|b|cos x1x2+y1y2夹角cos =ab|a|b|cos =x1x2+y1y2x12+y12x22+y22A(x1,y1),B(x2,y2)两点的距离|AB|=|AB|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2ab的充要条件ab=0x1x2+y1y2=0|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2+y1y2|x12+y12x22+y224.向量在平面几何中的应用(1)要证AB=CD,可转化为证明AB2=CD2或|AB|=|CD|.(2)要证两线段AB,CD平行,只要证存在唯一实数0,使等式AB=CD成立即可.(3)要证两线段AB,CD垂直,只需证A
3、BCD=0.(4)求夹角问题,利用夹角公式cos =ab|a|b|.1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)(a-b)=a2-b2.(2)(ab)2=a22ab+b2.2.当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|.3.a与b的夹角为锐角,则有ab0,反之不成立(为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有ab0,则a和b的夹角为锐角;若ab0,则a和b的夹角为钝角.()(3)若ab=0,则必有ab.()(4)(ab)c=a(bc).()(5)在ABC中,若ABBC0,则ABC为钝角三角形.()2.(2020全国3,理6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6
4、,ab=-6,则cos=()A.-3135B.-1935C.1735D.19353.(2019全国2,理3)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则ABBC=()A.-3B.-2C.2D.34.(2020全国1,文14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若ab,则m=.5.(2020全国2,理13)已知单位向量a,b的夹角为45,ka-b与a垂直,则k=.关键能力学案突破考点平面向量数量积的运算【例1】(1)(2020新高考全国1,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则APAB的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(
5、-4,6)(2)(2020北京,13)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足AP=12(AB+AC),则|PD|=;PBPD=.思考求向量数量积的运算有几种形式?解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法:(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即ab=|a|b|cos(其中是向量a与b的夹角).(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.(3)利用数量积的几何意义.数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简.
6、但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.对点训练1(1)(2020北京朝阳期中,7)在ABC中,AB=4,AC=3,且|AB+AC|=|AB-AC|,则BCCA=()A.-12B.-9C.9D.12(2)(2020北京海淀期中,14)在边长为2的正三角形ABC中,M是BC的中点,D是线段AM的中点.若BD=xBA+yBC,则x+y=;BDBM=.考点平面向量的模及应用【例2】(1)(2020陕西二模,文3)已知向量a=(1,-1),b=(x,2),且ab,则|a+b|的值为()A.2B.7C.22D.10(2)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,
7、P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为.思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法?解题心得1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用|a|=aa及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义求解.2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.对点训练2(1)(2020湖南衡阳高三一模,文5)若|a|=2,|b|=2,且(a-b)a,则|a-b|=()A.22B.2C.0D.2(2)已知向量OA
8、,OB满足|OA|=|OB|=2,点C在线段AB上,且|OC|的最小值为2,则|tOA-OB|(tR)的最小值为()A.2B.3C.5D.2考点平面向量数量积的应用(多考向探究)考向1求平面向量的夹角【例3】(1)(2019全国1,理7)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.56(2)(2020山西太原三模,文8)已知向量e1,e2是夹角为3的两个单位向量,则a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为()A.6B.3C.23D.56思考两向量数量积的正负与两向量的夹角有怎样的关系?考向2求参数的值或范围【例4】(2020河北5月
9、模拟,理9)已知AB=(1,0),BC=(-2,2).若(AB+AC)BC且|AC|=10,则+的值为()A.42B.42C.62D.62思考两向量的垂直与其数量积有何关系?考向3在三角函数中的应用【例5】(2020河南高三质检,17)已知向量a=(2sin x,-sin 2x),b=(-23sin x,2),函数f(x)=ab+23+1.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的单调递减区间.思考利用向量求解三角函数问题的一般思路是什么?考向4在解析几何中的应用【例6】(2020全国3,文6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若ACBC=1,则点C的轨迹为()A.圆B.椭圆
10、C.抛物线D.直线思考在向量与解析几何相结合的题目中,向量起到怎样的作用?解题心得1.数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为直角;数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角.2.若a,b为非零向量,cos=ab|a|b|(夹角公式),则abab=0.3.求一向量在另一向量上的投影有两种方法:一是利用向量投影的概念求,二是利用向量的数量积求.4.解决与向量有关的三角函数问题的一般思路是应用转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.5.向量在解析几何中的作用(1)载体作用:解决向量在解析几何中的问题时关键是利用向量的意义、
11、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用:利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题.特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.对点训练3(1)(2020湖南长郡中学联考)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=233|a|,则向量a+b与a-b的夹角为.(2)(2020山东模考卷,3)设向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-b)c,则=()A.3B.2C.-2D.-3(3)(2020福建师大附中段考,10)设圆M,圆N的半径分别为1,2,且两圆外
12、切于点P,点A,B分别是圆M,圆N上的两动点,则PAPB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1(4)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B),n=(cos B,-sin B),且mn=-35.求sin A的值;若a=42,b=5,求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影.1.平面向量的坐标表示与向量表示的比较:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),是向量a与b的夹角.2.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.3.利用向量垂直或平行
13、的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.4.向量在三角函数中的应用对于向量与三角函数结合的题目,其解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形问题或解三角形等问题.5.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件,通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来解答.6.向量在物理中的应用物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=|F|s|cos(为F与s的夹角).1.根据两个非零向量夹角为锐角或
14、钝角与数量积的正、负进行转化时,不要遗漏向量共线的情况.2.|ab|a|b|当且仅当ab时等号成立.3.注意向量夹角和三角形内角的关系.1.平面向量与三角形的“重心”问题【例1】已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP=13(1-)OA+(1-)OB+(1+2)OC,R,则点P的轨迹一定经过()A.ABC的内心B.ABC的垂心C.ABC的重心D.AB边的中点答案C解析取AB的中点D,则2OD=OA+OB,因为OP=13(1-)OA+(1-)OB+(1+2)OC,所以OP=132(1-)OD+(1+2)OC=2(1-)3OD+1+23OC,又因为2(1-)3+1+23=1,所以P,C,
15、D三点共线,所以点P的轨迹一定经过ABC的重心.2.平面向量与三角形的“垂心”问题【例2】已知O是平面上的一个定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+AB|AB|cosB+AC|AC|cosC,(0,+),则动点P的轨迹一定通过ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心答案B解析因为OP=OA+AB|AB|cosB+AC|AC|cosC,所以AP=OP-OA=AB|AB|cosB+AC|AC|cosC.所以BCAP=BCAB|AB|cosB+AC|AC|cosC=ABBC|AB|cosB+ACBC|AC|cosC=(-|BC|+|BC|)=0.所以BCAP,则点P在边B
16、C的高线上.故动点P的轨迹一定通过ABC的垂心.3.平面向量与三角形的“内心”问题【例3】在ABC中,AB=5,AC=6,cos A=15,O是ABC的内心,若OP=xOB+yOC,其中x,y0,1,则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()A.1063B.1463C.43D.62答案B解析根据向量加法的平行四边形法则可知,动点P的轨迹是以OB,OC为邻边的平行四边形及其内部,其面积为BOC的面积的2倍.在ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a=7.设ABC的内切圆的半径为r,则12bcsinA=12(a+b+c)r,解得r=263,所以
17、SBOC=12ar=127263=763.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2SBOC=1463.4.平面向量与三角形的“外心”问题【例4】已知在ABC中,AB=1,BC=6,AC=2,点O为ABC的外心,若AO=xAB+yAC,则有序实数对(x,y)为()A.45,35B.35,45C.-45,35D.-35,45答案A解析取AB的中点M和AC的中点N,连接OM,ON,则OMAB,ONAC,OM=AM-AO=12AB-(xAB+yAC)=12-xAB-yAC,ON=AN-AO=12AC-(xAB+yAC)=12-yAC-xAB,由OMAB,得12-xAB2-yACAB=0,由ONAC,得12-
18、yAC2-xACAB=0.又因为BC2=(AC-AB)2=AC2-2ACAB+AB2,所以ACAB=AC2+AB2-BC22=-12,把代入,得1-2x+y=0,4+x-8y=0,解得x=45,y=35.故实数对(x,y)为45,35.5.3平面向量的数量积与平面向量的应用必备知识预案自诊考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.Da(a+b)=a2+ab=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2ab=25+36-12=49,|a+b|=7,cos=a(a+b)|a|a+b|=1957=1935.3.C由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,则B
19、C=(1,0).所以ABBC=(2,3)(1,0)=21+30=2.故选C.4.5由ab,可得ab=1(m+1)+(-1)(2m-4)=0,解得m=5.5.22由题意可知,ab=|a|b|cos45=22.ka-b与a垂直,(ka-b)a=k|a|2-ab=k-22=0,k=22.关键能力学案突破例1(1)A(2)5-1(1)如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,3),C(3,3).设P(x,y),则AP=(x,y),AB=(2,0),APAB=2x+0y=2x.-1x3,APAB的取值范围为(-2,6),故选A.(2)
20、以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则点A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),AP=12AB+AC=(2,1),则点P(2,1),PD=(-2,1),PB=(0,-1),因此,|PD|=(-2)2+12=5,PBPD=0(-2)+1(-1)=-1.对点训练1(1)B(2)341(1)因为|AB+AC|=|AB-AC|,所以以AB,AC为邻边组成的四边形的对角线相等,所以该四边形为矩形.故BCCA=(AC-AB)(-AC)=-AC2+ABAC=-9+|AB|AC|cosA=-9+0=-9.(2)如下图,BD=12(BA+BM)=12
21、BA+12BC=12BA+14BC,所以x=12,y=14,x+y=34.BDBM=12BA+14BC12BC=14BABC+18BC2=1422cos60+184=12+12=1.例2(1)D(2)5(1)由ab,得ab=x-2=0,解得x=2.所以a+b=(3,1),所以|a+b|=32+1=10.故选D.(2)建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).所以PA+3PB=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),所以|PA+3PB|=25+(3b-4y)2(0yb),所以当y=34b时,|PA+3PB|取得最小值5.对点训练2(1)
22、D(2)D(1)|a|=2,|b|=2,(a-b)a,(a-b)a=a2-ab=2-ab=0,ab=2,|a-b|=a2-2ab+b2=2-22+4=2.故选D.(2)由于|OA|=|OB|=2,说明O点在AB的垂直平分线上.当C是AB的中点时,|OC|取最小值,最小值为2,此时OA与OC的夹角为45,OB与OC的夹角为45,OA与OB的夹角为90,|tOA-OB|2=OB2+t2OA2-2tOAOB=4t2+4(tR),当t=0时,4t2+4的最小值是4,即|tOA-OB|的最小值是2.故选D.例3(1)B(2)C(1)因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2.设a
23、与b的夹角为,则cos=ab|a|b|=|b|22|b|2=12,所以a与b的夹角为3,故选B.(2)根据条件,|e1|=|e2|=1,e1e2=12,ab=(2e1+e2)(-3e1+2e2)=-6e12+e1e2+2e22=-6+12+2=-72,a2=4e12+4e1e2+e22=7,b2=9e12-12e1e2+4e22=7.cos=ab|a|b|=-7277=-12,a与b的夹角为23.例4B因为AB=(1,0),BC=(-2,2),所以AC=AB+BC=(-1,2),由|AC|=10,得5|=10,所以|=2.因为(AB+AC)BC,所以(AB+AC)BC=0,即ABBC+ACBC
24、=0,即-2+6=0,所以=3,所以+=4=42.故选B.例5解(1)因为a=(2sinx,-sin2x),b=(-23sinx,2),所以ab=-43sin2x-2sin2x=-431-cos2x2-2sin2x=23cos2x-2sin2x-23.所以f(x)=23cos2x-2sin2x+1=4cos2x+6+1,故函数f(x)的最小正周期是T=22=.(2)由f(x)=4cos2x+6+1,得2k2x+62k+(kZ),解得k-12xk+512(kZ),所以函数f(x)的单调递减区间为k-12,k+512(kZ).例6A以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标
25、系.设A(-a,0),则B(a,0),C(x,y),则AC=(x+a,y),BC=(x-a,y),由ACBC=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.故选A.对点训练3(1)3(2)A(3)C(1)由|a+b|=|a-b|,得ab,则ab=0,将|a+b|=233|a|两边平方,得a2+b2+2ab=43a2,所以b2=13a2.设a+b与a-b的夹角为,所以cos=(a+b)(a-b)|a+b|a-b|=a2-b2233|a|233|a|=23a243a2=12.又因为0,所以=3.(2)因为a=(1,1),b=(-1,3),所以a-b=(1+,1
26、-3).又因为(a-b)c,c=(2,1),所以2(1+)+(1-3)=0,即2+2+1-3=0,解得=3.(3)圆M,圆N的半径分别为1,2,且两圆外切于点P,点A,B分别是圆M,圆N上的两动点,则PAPB=|PA|PB|cosAPB,当三点A,P,B共线,两个向量方向相反时,数量积取得最小值为24(-1)=-8.当BPN=60,APB=60时,PAPB=|PA|PB|cosAPB=1212=1.则PAPB的取值范围是-8,1.(4)解由mn=-35,得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35,所以cosA=-35.因为0Ab,所以AB,且B是ABC一内角,则B=4.由余弦定理得(42)2=52+c2-25c-35,解得c=1,c=-7(舍去),故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB=ccosB=122=22.
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